- •§ 1. Балансовые модели
- •1. Войти в excel
- •1. В первом столбце таблицы перечислены “чистые отрасли”, более или менее цельные, самостоятельные (энергетика, металлургия, машиностроение, оборонка, сельское хозяйство и т.Д.)
- •§ 3. Общая постановка задачи линейного программирования. Симплекс- метод
- •1. Множество решений системы (1) из § 2 является выпуклым многогранником (напомним, что выпуклое множество вместе с любыми двумя точками содержит все точки соединяющего их отрезка).
- •2. Вершины многогранника называются угловыми точками.
- •2. Приводим задачу к каноническому виду:
- •3. Составляем исходную симплекс-таблицу (заметим, что в разных учебных пособиях форма симплекс- таблицы различна!):
- •4. Проверяем опорное решение на оптимальность: если все элементы оценочной строки неотрицательны, то опорное решение оптимально. В нашем случае это не так.
- •1. Если в оценочной строке последней симплекс- таблицы все коэффициенты при балансовых переменных больше 0, то оптимальное решение единственно.
- •§ 4. Двойственные задачи (dual problem).
- •1. Построение математической модели:
- •§ 5. Транспортная задача (transportation
- •1. Вывести весь груз поставщиков (запасы)
- •2. Удовлетворить весь спрос потребителей
- •3. Минимизировать суммарные затраты.
- •1. Нахождение начального опорного плана (угловой точки).
- •2. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •3. Переход к новому опорному плану, лучшему, чем предыдущему.
- •4. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •1. Нахождение начального опорного плана (угловой точки).
- •2. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •3. Переход к новому опорному плану, лучшему, чем предыдущему.
- •50 Изделий из Стокгольма в Лион
- •1. Нахождение начального опорного плана (угловой точки).
- •2. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •§ 6 Задача о назначениях (assignment problem).
- •1. Образовать таблицу затрат с.
- •§ 7 Задачи нелинейного программирования
- •§ 8 Игры двух лиц с нулевой суммой (theory of games).
- •1. Наличие двух игроков а и в, с противоположными целями. Поэтому игру и называют антагонистической.
- •2. Наличие у каждого игрока конечного числа ходов, называемых также чистыми стратегиями. Каждый игрок знает чистые стратегии соперника, но не знает какую чистую стратегию тот применит.
- •3. Игроки независимо выбирают чистые стратегии (ходы), после чего игра (партия) заканчивается и каждому игроку выплачивается выигрыш, причем сумма выигрышей равна нулю.
- •4. Все возможные выигрыши аij игрока а сосредоточены в платежной матрице:
- •2. Пусть игрок а обладает 4 чистыми стратегиями. Будут ли следующие векторы смешанными стратегиями?
- •2. Пусть игрок а имеет две чистых стратегии.
- •§ 10 Сведение матричных игр с нулевой суммой к задачам линейного программирования
- •§ 11. Итерационный метод (Брауна – Робинсона).
- •§ 12. Игры с природой (статистические решения)
- •1. Критерий крайнего оптимизма.
- •2. Критерий Вальда
- •3. Критерий Гурвица
- •4. Критерий Сэвиджа
- •5. Критерий Лапласа
- •1. Критерий крайнего оптимизма.
- •§ 13. Модели принятия решений с помощью деревьев решений.
- •1. Изображаем дерево решений, указывая все этапы процесса принятия решений.
- •1. Изображаем дерево решений, указывая все этапы процесса принятия решений.
- •1. Оптимизация 4-го шага, т.Е. Решение задачи:
- •2. Оптимизация 3-го шага, т.Е. Решение задачи:
- •3. Оптимизация 2-го шага, т.Е. Решение задачи:
- •4. Оптимизация 1- го шага → табл.5
- •5. Обратный ход – окончательный оптимальный набор шаговых уравнений
- •80, Третьему- 40, четвертому - 40.
- •§ 15 Вероятностные модели
- •2. Формирование оптимального портфеля акций
- •1 3, 14, 23. Ясно, что точки 1 и 2 не доминируются другими. Они и образуютПарето - оптимальное множество. Среди них и нужно выбрать оптимальную.
- •1. Предоставить окончательный выбор лицу, принимающему решение (например, совету директоров).
- •2. Воспользоваться объединяющей взвешивающей формулой:
- •§ 17. Математическая модель управления запасами
- •1. В момент полного исчерпания запасов склада мгновенно поступает ранее заказанная партия запасов в количестве q.
- •2. С другой стороны со скоростью V ед. Запасов/ ед. Времени запасы отпускаются потребителям:
- •§ 18. Моделирование социально- экономической структуры общества.
- •§ 16. Дисперсионный анализ
- •1. Пусть х- случайная величина, определяющая результативный признак , в данном случае- производительность. Фактор а- методика обучения.
- •3. Подсчитываем факторную дисперсию:
- •4. Подсчитываем остаточную дисперсию:
- •5. Вычисляем значение критерия Фишера:
- •7. Находим число степеней свободы числителя (v1 ) и
- •§ 19. Имитационное моделирование (model simulation)
- •4. Итоговая оценка суммарных издержек:
- •5. Итоговая оценка суммарных издержек:
- •§ 19. Моделирование социально- экономической структуры общества.
- •1. Афанасьев м.Ю., Суворов б.Р. Исследование операций в экономике.-м.: Инфра-м, 2003.
§ 6 Задача о назначениях (assignment problem).
Пусть имеются n кандидатов и n работ.
Известны затраты с i j , связанные с выполнением
i-м кандидатом j - й работы. Предполагается, что каждый кандидат может быть назначен только на одну работу и каждая работа может быть выполнена только одним кандидатом.
Требуется так распределить (назначить) кандидатов на работы, чтобы суммарные затраты были минимальны.
Эта задача возникает, например, при распределении работников фирмы на обслуживание клиентов, при распределении водителей по автомашинам, при распределении групп студентов по аудиториям и т.д.
Построение математической модели:
хi j =1, если i -й кандидат назначен на j- ю работу
хi j =0, в противном случае.
По условию:
Легко видеть, что модель соответствует модели транспортной задачи из § 5, однако специальная форма записи модели позволила разработать более эффективный алгоритм (венгерский метод). Его суть:
1. Образовать таблицу затрат с.
2. В каждом столбце найти минимальный элемент и вычесть его из всех элементов этого столбца. Результаты записать в новую таблицу.
3. В каждой строке полученной таблицы найти минимальный элемент и вычесть его из всех элементов этой строки. Результаты записать в новую таблицу.
4. Проставить у нулей новой матрицы звездочки (*) так, чтобы в каждой строке и каждом столбце было по одному 0*. Если это возможно, то каждому 0* сопоставляем xij =1, остальным элементам 0 – оптимальное решение получено.
5. Если указанным способом нельзя проставить 0*, то провести в таблице минимальное число прямых через некоторые 0 , так, чтобы все нули оказались вычеркнутыми.
6. Выбрать наименьший не вычеркнутый элемент и вычесть его из каждого не вычеркнутого элемента. Прибавить этот элемент к каждому элементу на пересечении прямых. Перейти к п.4.
Пример 1
Менеджеру фирмы нужно организовать с минимальными затратами производство изделий 4-х типов на 4-х филиалах.
Задана таблица затрат:
1 |
4 |
6 |
3 |
9 |
7 |
10 |
9 |
4 |
5 |
11 |
7 |
8 |
7 |
8 |
5 |
Следуя алгоритму, получим:
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
3 |
4 |
6 |
3 |
1 |
5 |
4 |
7 |
3 |
2 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
4 |
3 |
5 |
1 |
0 |
0 |
Не получается расставить 0* так, чтобы в каждой строке и каждом столбце было по одному 0*!
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
4 |
3 |
5 |
1 |
0 |
0 |
0* |
1 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0* |
3 |
1 |
0* |
3 |
2 |
5 |
2 |
0 |
0* |
Fmin = 1 +5 +10 +5 = 21
Решить задачу в EXCEL!
Графическая иллюстрация:
Рис. 6.1
Пример 2.
Мастер цеха должен оптимальным образом расставить четырех рабочих по четырем операциям. Из данных хронометража известно, сколько минут в среднем тратит каждый рабочий на выполнение каждой операции:
15 |
20 |
18 |
24 |
12 |
17 |
16 |
15 |
14 |
15 |
19 |
15 |
11 |
14 |
12 |
3 |
Следуем алгоритму:
4 |
6 |
6 |
21 |
1 |
3 |
4 |
12 |
3 |
1 |
7 |
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
2 |
17 |
0 |
2 |
3 |
11 |
2 |
0 |
6 |
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
2 |
17 |
0 |
2 |
3 |
11 |
2 |
0 |
6 |
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0* |
15 |
0* |
2 |
1 |
9 |
2 |
0* |
1 |
7 |
2 |
2 |
0 |
0* |
Пример 3
Некоторая компания имеет 4 сбытовых базы и 4 заказа, которые необходимо оптимальным образом доставить различным потребителям. В таблице указана информация о расстояниях между каждой базой и потребителем :
База |
расстояние, миль | |||
1 2 3 4 | ||||
A |
68 |
72 |
75 |
83 |
B |
56 |
60 |
58 |
63 |
C |
38 |
40 |
35 |
45 |
D |
47 |
42 |
40 |
45 |
Решить в EXCEL.
Пример 4
В распоряжении некоторой компании имеются 5 торговых точек и 5 продавцов. Эффективность работы продавцов в различных точках не одинакова:
База |
объем продаж, ф. ст./тыс. шт. | ||||
1 2 3 4 5 | |||||
A |
68 |
72 |
75 |
83 |
69 |
B |
56 |
60 |
58 |
63 |
59 |
C |
38 |
40 |
40 |
45 |
27 |
D |
47 |
42 |
47 |
45 |
36 |
E |
62 |
70 |
68 |
67 |
70 |
Коммерческий директор должен распределить продавцов по торговым точкам, так, чтобы достичь максимального объема продаж.
Решить в EXCEL.