§ 15 Вероятностные модели
Мы рассмотрим три основных модели:
1. Оптимальное поведение на фондовой бирже [ 5 ]
Обычно, на рынке обращается множество видов ценных бумаг. Курсовая стоимость ценных бумаг зависит от большого числа разнообразных факторов и может рассматриваться как случайная величина. Важной причиной “ случайности” являются внешние события макроэкономического и политического характера (изменения законодательства, изменения цен на энергоносители, внедрение новых технологий, стихийные бедствия и т.д.).
Обычно инвестор вкладывает наличный капитал в несколько видов ценных бумаг (будем говорить об акциях), составляющих портфель инвестора.
Предположим, что на рынке имеется n видов ценных бумаг. Пусть инвестор вкладывает сумму денег S в акции n компаний равными долями.
Это значит, что на акции i-й компании выделяется сумма Si = S/ n.
Пусть Xi –случайная величина- доходность акций i-й компании, тогда случайная величина Х = S1 X1 + S2 X2 +…SnXn - доходность портфеля акций. Заметим, что это одно из основных понятий финансового менеджмента.
Пусть σi – риск случайной величины Xi (среднее квадратическое отклонение- корень из дисперсии),
σ0 = max (σ1, σ2, ….σn ) , тогда подсчитаем риск финансовой операции Х:
=
D (X) = D (S1
X1
+ S2
X2
+…SnXn)
=
Вывод: при n →∞ (т.е. чем разнообразнее ассортимент акций!) риск финансовой операции стремится к нулю!
Отсюда, золотое правило фондовой биржи: инвестировать деньги не в один вид акций, а составлять портфель разнообразных акций - принцип диверсификации (diversity).
2. Формирование оптимального портфеля акций
[ 5 ]
Пусть инвестор в начале года инвестирует 10 у.е. на формирование портфеля акций трех компаний К1, К2, К3. Цена одной акции: 3, 2, 5 у.е., соответственно.
По прогнозам аналитиков, в конце года рынок ценных бумаг может оказаться в одном из состояний S1 (вероятность 0,4) или S2 (вероятность 0,6).
Ожидаемые дивиденды (в %) таковы:
Требуется сформировать оптимальный портфель акций, обеспечивающий инвестору максимальный доход (логично?).
Составим платежную матрицу (таблицу):
|
Фактор неопредел. |
S1 (0,4) |
S2 (0,6) |
M
|
σ |
|
Решение | ||||
|
(3,2,5) |
1,16 |
1,09 |
1,118 |
0,034 |
|
(3, 3, 2, 2) |
0,92 |
1,38 |
1,196 |
0,22 |
|
(5, 5) |
1,4 |
0,8 |
1,04 |
0,29 |
|
(2, 2, 2, 2 ,2) |
0,8 |
1,2 |
1,04 |
0,19 |
Итак, эффективность портфеля акций характеризуется векторной оценкой ( M, σ ), где М- ожидаемый средний доход, а σ- показатель риска (риск портфеля).
Пояснение:
1,16 = 3 * 0,1 + 2 * 0,08 + 5 * 0,14
М - математическое ожидание (средний доход):
0,118 = 1,16 * 0,4 + 1,09* 0,6
σ – среднее квадратическое отклонение (риск)
0,034 = √ (1,16)2 *(0,4) + (1,09)2 * (0,6) – (1,118)2
EMV- expected monetary value
Изобразим точки (М, σ ) в системе координат:
Рис.15.1
Ясно, что М должно быть больше (доходность!), а σ меньше (риск!).
Говорят, что одна точка доминирует по Парето (Вильфредо Парето, известный итальянский экономист ХХ века) другую, если она на графике правее и ниже: