§ 10 Сведение матричных игр с нулевой суммой к задачам линейного программирования

Покажем, на примере, как игру двух лиц с нулевой суммой можно свести к решению пары двойственных задач линейного программирования и решить, например, симплекс-методом (табличным или в среде EXCEL) . Отметим [4], что и любая задача линейного программирования может быть сведена к матричной игре.

Пример:

Решить игру, заданную платежной матрицей

α= 1, β= 2 → игра без седловой точки.

Пусть (р₁, р₂) – смешанная стратегия игрока А, (q₁, q₂, q₃) – смешанная стратегия игрока В.

Напомним, что суммы вероятностей равны 1.

Воспользуемся теоремой Неймана .

Для игрока А:

введем обозначения:

y₁ = р₁/v, y₂ = р₂/v. (Заметим, что v = 1/(y₁ + y₂)).

Задача примет вид:

3y₁ + y₂ ≥ 1

3y₂ ≥ 1

y₁ + 2y₂ ≥ 1

G = y₁ + y₂ → min (1)

Для игрока B:

Обозначим х₁ = q₁/v, х₂ = q₂/v, x₃= q₃/v . Заметим, что

v= 1/(x₁ + x₂+ x₃).

Задача примет вид:

3x₁ + x₃ ≤ 1

x₁ + 3x₂ +2x₃ ≤ 1

F = x₁+ x₂+ x₃ → max (2)

Согласно лекции 6 получена пара двойственных задач (1) и (2). Напомним, что, решив одну из них, например, симплекс-методом, мы автоматически найдем решение другой.

Итак, нахождение решения игры в смешанных стратегиях может быть сведено к решению пары двойственных задач линейного программирования.

Решим задачу (1) в EXCEL

у₁ = 1/5, у₂= 2/5, v= 1/0,6

р₁ = (1/5)*(5/3)=1/3, р₂ = 2/3.

Пример:

Имеются две конкурирующие фирмы А и В. Фирма А в будующем году может производить 4 новых модели айфонов:А1,А2,А3,А4. Конкурент В также может производить 4 новых модели: В1,В2,В3,В4. Платежная матрица (прибылерованияй) фирмы А имеет вид:

Как рациональнее всего поступить каждой фирме, чтобы получить наибольшую прибыль?

Для фирмы А записываем задачу линейного программирования:

70у₁+60у₁+20у₁+50у₁≥ 1

30у₁+50у₁+60у₁+70у₁≥ 1

20у₁+40у₁+80у₁+30у₁≥ 1

50у₁+80у₁+60у₁+50у₁≥ 1

G = y₁+ y₂+ y₃+ y₄ → min

Экономический пример (курсовая работа)

Металлургический консорциум (игрокА) с целью улучшения финансового состояния должен принять решение об инвестиции 10 млн. в банк

(игрок В).

Совет директоров консорциума рассматривает возможность открытия $ счетов на сумму 2 млн., 3 млн. и 5 млн. $.

Какие установит процентные ставки противостоящий консорциуму банк заранее неизвестно. Возможные варианты по указанным вкладам таковы: 12%, 6 % и 8 % или 9%, 10 % и 7 %, соответственно. У игрока В, таким образом, две чистых стратегии.

Естественно, консорциум стремится увеличить свою прибыль, а банк минимизировать выгоду консорциума. Методами теории игр найти оптимальные стратегии консорциума, а также банка. Какой ожидаемый доход может получить консорциум?

Чистые стратегии игрока А (консорциума) перечислим и опишем в таблице:

Чистые стратегии игрока А	1 тип вклада (2 млн.)	11 тип вклада (3 млн.)	111 тип вклада (5 млн.)
1	2,2,2,2,2	-	-
2	2, 2, 2	3
3	2, 2	3, 3
4	2, 2		5
5	2	3	5
6		3, 3, 3
7			5, 5

Пояснение: 1-я чистая стратегия предполагает открытие 5 вкладов по 2 млн., 2-я -3 вкладов по 2млн и одного по 3 млн. (напомним - всего в наличии 10 млн.). Дальнейшая структура таблицы понятна!

Чистые стратегии игрока В: выплачивать проценты по первому варианту или по второму варианту.

Запишем платежную матрицу игры, указав доходы игрока А.

α = 0,9 β = 0,96

Седловой точки нет, поэтому будем искать решение игры в смешанных стратегиях. По смыслу задачи нас будет интересовать игрок А.

Составим задачу линейного программирования:

1,2y₁ + 0,9y₂ +0,84у₃ +0,88у₄ + 0,82у₅ + 0,54у₆ + 0,8у₇ ≥ 1

0,9y₁ + 0,84y₂ +0,96у₃ +0,80у₄ + 0,83у₅ + 0,9у₆ + 0,7у₇ ≥ 1

G = y₁ + y₂ +у₃ +у₄ +у₅ + у₆ + у₇ → min

Компьютерное решение в среде EXCEL (файл “новый”)

y₁ = 0,30, y₂ =0, у₃ = 0,76, у₄ =0, у₅ =0, у₆ =0, у₇ =0, v= 0,94

р₁ = 0,3*0,94 =0,282, р₃ = 0,76*0,94 =0,714

В большей степени следует порекомендовать консорциуму разместить 5 вкладов по 2 млн. и 2 вклада по 2 млн и 2 по 3 млн. Гарантируемый средний доход 94%.

Пример: (военная игра) [1]

На маневрах флота в средиземном море сторона В может послать подводную лодку в один из регионов моря: 1 или 2. Другая сторона А имеет 3 противолодочных корабля и должна обнаружить и уничтожить подводную лодку.

Вероятность корабля потопить лодку в регионе 1 равна 0,6, а в регионе 2 - 0,4. Командованию флота нужно разработать стратегию распределения кораблей по регионам.

Данную конфликтную ситуацию рассмотрим как игру двух игроков А и В.

У игрока В две стратегии - послать лодку в регион 1 и в регион 2. У игрока А четыре стратегии (0,3), (1,2), (2,1) и (3,0).

Например, (2,1) означает посылку двух кораблей в 1 регион и одного- во 2 регион, и т.п.

Выигрыш игрока А – вероятность уничтожения лодки.

α=0,6, β=0,784

Поясним составление платежной матрицы.

(0,3)- посылка 0 кораблей в 1 регион и 3 кораблей во второй.

При этом в первом регионе имеется лодка - ясно, что вероятность ее уничтожения 0.

Пусть игрок В направил лодку во 2 регион:

вероятность того, что хотя бы один из 3-х кораблей уничтожит лодку: р = 1 – (1- 0,4)³ =0,784.

(2,1)- посылка 2 кораблей в 1 регион и одного корабля во 2 регион. Пусть игрок В направил лодку в 1 регион:

Р = 1- (1-0,6)² = 0,64 и т.д. (просчитать вероятности самостоятельно).

Рассуждая, так же как и в первом примере:

Для игрока А:

0,6у₂ + 0,84у₃ + 0,936 у₄ ≥ 1

0,784у₁ + 0,64у₂ + 0,4 у₃ ≥ 1

F = у₁ + у₂ + у₃ + у₄ → min (1)

Для игрока В:

0,784х₂ ≤ 1

0,6х₁ + 0,64х₂ ≤ 1

0,84х₁ + 0,4х₂ ≤ 1

0,936х₁ ≤ 1

G= x₁ + x₂ → max (2)

Решим задачу (2) в EXCEL (файл “игра”).

х₁ = 0,80, х₂ = 0,81, v = 0, 62 → q₁ = 0,496, q₂ = 0,502

у₁ = 0, у₂= 1,48, у₃=0,13, у₄=0, v= 1/(у₁+у₂ + у₃ + у₄)= 1/1,61 = 0,62

р₁=0, р₂ =1,48*0,62= 0,92, р₃=0,13*0,62= 0,08, р₄ =0

Итак, оптимальная стратегия игрока А – послать 1 корабль в 1-й регион с вероятностью 0,92 и 2- во 2 регион с вероятностью 0,08. Не следует посылать 3 корабля в 1 -й регион и 3 корабля во 2 регион!

Игроку В следует с примерно равными вероятностями послать лодку в каждый из двух регионов.

Пример.

Найти решение игры, заданной платежной матрицей:

Решаем игру сведением к двойственным задачам.

Для игрока А:

4у₁ + 3у₂ + 2 у₃ ≥ 1

-2у₁ + 5у₂ + у₃ ≥ 1

2у₁ + у₂ + 5у₃ ≥ 1

G = у₁ + у₂ + у₃ → min (1)

Для игрока В:

4х₁ – 2х₂ + 2х₃ ≤ 1

3х₁ + 5х₂ + х₃ ≤ 1

2х₁ + х₂ + 5х₃ ≤ 1

F = х₁ + х₂ + х₃ → max (2)

Решим задачу (1) в EXCEL:

у₁ = 0,03 у₂ = 0,19 у₃= 0,15

v= 1/ (0,03 + 0,19 + 0,15)= 2,7

р₁ = 0,03*2,7=0,081

р₂ = 0,19*2,7 =0,513

р₃ = 0,15*2,7 =0,405

Наиболее обещающей для игрока А является 2-я стратегия.

Решим задачу (2) в EXCEL:

х₁ = 0,22 х₂ = 0,05 х₃= 0,1

v= 1/ (0,22 + 0,05 + 0,1)= 2,7

q₁ = 0,22*2,7=0,594

q₂ = 0,05*2,7 =0,135

q₃ = 0,1*2,7 =0,27

Пример.

Известный актер (игрок А) обдумывает, где бы ему провести отпуск с молодой женой. Возможные варианты (чистые стратегии): Монте-Карло (МК), Гавайские острова (Г), Багамские острова (Б), Канарские острова (К), Сочи (С), озеро Байкал (ОБ). Игрок В - папарацци - фотографы, которые охотятся за артистом и могут, выследив его, испортить ему отпуск. Папарацци могут выследить актера с такими вероятностями: 0,34- МК, 0,12-Г, 0,16- Б, 0,4- К, 0,5-С, 0,2- ОБ.

Выигрыш игрока А - вероятность не встречи с папарацци.

Определить оптимальную стратегию игрока А.

Платежная матрица:

Следуя вышесказанному, составим задачу линейного программирования (почему без двойственной?):

0,66у₁ + у₂ + у₃ + у₄ + у₅ + у₆ ≥ 1

у₁ + 0,88у₂ + у₃ + у₄ + у₅ + у₆ ≥ 1

у₁ + у₂ + 0,84у₃ + у₄ + у₅ + у₆ ≥ 1

у₁ + у₂ + у₃ +0,6 у₄ + у₅ + у₆ ≥ 1

у₁ + у₂ + у₃ + у₄ +0,5 у₅ + у₆ ≥ 1

у₁ + у₂ + у₃ + у₄ + у₅ +0,8 у₆ ≥ 1

G= у₁ + у₂ + у₃ + у₄ + у₅ + у₆ → min

Решим задачу в EXCEL.

у₁= 0,11 у₂= 0,32 у₃= 0,24 у₄= 0,09 у₅= 0,07 у₆= 0,19

v= 1/ ( 0,11 + 0,32 + 0,24 + 0,09 + 0,07 + 0,19)=0,98

p₁= 0,11*0,98=0,108

p₂= 0,32*0,98=0,313

p₃= 0,24*0,98=0,235

p₄= 0,09*0,98=0,088

p₅= 0,07*0,98=0,068

p₆= 0,19*0,98=0,186

Рекомендация - Гавайские острова.

Доминирование стратегий

Данный прием в теории игр используется для уменьшения размерности платежной матрицы.

Пусть i-я строка по элементно не меньше (≥) j-й строки, тогда говорят, что i-я строка доминирует над j-й строкой. Поэтому игроку А не выгодно пользоваться j-й чистой стратегией- ведь его выигрыш при i-й чистой стратегии не меньше, чем при j-й чистой стратегии вне зависимости от того, как играет В.

Аналогично, если i-й столбец по элементно не меньше j-го столбца, то говорят, что j- й столбец доминирует над i-м столбцом - игроку В не выгодно. Поэтому игроку В не выгодно использовать i-ю стратегию.

Стратегии, над которыми доминируют другие, естественно отбросить и приписать им нулевые вероятности. На цене игры это никак не скажется, но зато размерность матрицы понизится.

В частности, в матрице могут быть несколько одинаковых строк или столбцов (дублирование) стратегий, то из них естественно оставить только одну строку или столбец.

Пример

Упростить (редуцировать) платежную матрицу используя принцип доминирования:

Студенту рекомендуется подробно разобрать все этапы.

Дальнейшее упрощение невозможно!