- •§ 1. Балансовые модели
- •1. Войти в excel
- •1. В первом столбце таблицы перечислены “чистые отрасли”, более или менее цельные, самостоятельные (энергетика, металлургия, машиностроение, оборонка, сельское хозяйство и т.Д.)
- •§ 3. Общая постановка задачи линейного программирования. Симплекс- метод
- •1. Множество решений системы (1) из § 2 является выпуклым многогранником (напомним, что выпуклое множество вместе с любыми двумя точками содержит все точки соединяющего их отрезка).
- •2. Вершины многогранника называются угловыми точками.
- •2. Приводим задачу к каноническому виду:
- •3. Составляем исходную симплекс-таблицу (заметим, что в разных учебных пособиях форма симплекс- таблицы различна!):
- •4. Проверяем опорное решение на оптимальность: если все элементы оценочной строки неотрицательны, то опорное решение оптимально. В нашем случае это не так.
- •1. Если в оценочной строке последней симплекс- таблицы все коэффициенты при балансовых переменных больше 0, то оптимальное решение единственно.
- •§ 4. Двойственные задачи (dual problem).
- •1. Построение математической модели:
- •§ 5. Транспортная задача (transportation
- •1. Вывести весь груз поставщиков (запасы)
- •2. Удовлетворить весь спрос потребителей
- •3. Минимизировать суммарные затраты.
- •1. Нахождение начального опорного плана (угловой точки).
- •2. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •3. Переход к новому опорному плану, лучшему, чем предыдущему.
- •4. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •1. Нахождение начального опорного плана (угловой точки).
- •2. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •3. Переход к новому опорному плану, лучшему, чем предыдущему.
- •50 Изделий из Стокгольма в Лион
- •1. Нахождение начального опорного плана (угловой точки).
- •2. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •§ 6 Задача о назначениях (assignment problem).
- •1. Образовать таблицу затрат с.
- •§ 7 Задачи нелинейного программирования
- •§ 8 Игры двух лиц с нулевой суммой (theory of games).
- •1. Наличие двух игроков а и в, с противоположными целями. Поэтому игру и называют антагонистической.
- •2. Наличие у каждого игрока конечного числа ходов, называемых также чистыми стратегиями. Каждый игрок знает чистые стратегии соперника, но не знает какую чистую стратегию тот применит.
- •3. Игроки независимо выбирают чистые стратегии (ходы), после чего игра (партия) заканчивается и каждому игроку выплачивается выигрыш, причем сумма выигрышей равна нулю.
- •4. Все возможные выигрыши аij игрока а сосредоточены в платежной матрице:
- •2. Пусть игрок а обладает 4 чистыми стратегиями. Будут ли следующие векторы смешанными стратегиями?
- •2. Пусть игрок а имеет две чистых стратегии.
- •§ 10 Сведение матричных игр с нулевой суммой к задачам линейного программирования
- •§ 11. Итерационный метод (Брауна – Робинсона).
- •§ 12. Игры с природой (статистические решения)
- •1. Критерий крайнего оптимизма.
- •2. Критерий Вальда
- •3. Критерий Гурвица
- •4. Критерий Сэвиджа
- •5. Критерий Лапласа
- •1. Критерий крайнего оптимизма.
- •§ 13. Модели принятия решений с помощью деревьев решений.
- •1. Изображаем дерево решений, указывая все этапы процесса принятия решений.
- •1. Изображаем дерево решений, указывая все этапы процесса принятия решений.
- •1. Оптимизация 4-го шага, т.Е. Решение задачи:
- •2. Оптимизация 3-го шага, т.Е. Решение задачи:
- •3. Оптимизация 2-го шага, т.Е. Решение задачи:
- •4. Оптимизация 1- го шага → табл.5
- •5. Обратный ход – окончательный оптимальный набор шаговых уравнений
- •80, Третьему- 40, четвертому - 40.
- •§ 15 Вероятностные модели
- •2. Формирование оптимального портфеля акций
- •1 3, 14, 23. Ясно, что точки 1 и 2 не доминируются другими. Они и образуютПарето - оптимальное множество. Среди них и нужно выбрать оптимальную.
- •1. Предоставить окончательный выбор лицу, принимающему решение (например, совету директоров).
- •2. Воспользоваться объединяющей взвешивающей формулой:
- •§ 17. Математическая модель управления запасами
- •1. В момент полного исчерпания запасов склада мгновенно поступает ранее заказанная партия запасов в количестве q.
- •2. С другой стороны со скоростью V ед. Запасов/ ед. Времени запасы отпускаются потребителям:
- •§ 18. Моделирование социально- экономической структуры общества.
- •§ 16. Дисперсионный анализ
- •1. Пусть х- случайная величина, определяющая результативный признак , в данном случае- производительность. Фактор а- методика обучения.
- •3. Подсчитываем факторную дисперсию:
- •4. Подсчитываем остаточную дисперсию:
- •5. Вычисляем значение критерия Фишера:
- •7. Находим число степеней свободы числителя (v1 ) и
- •§ 19. Имитационное моделирование (model simulation)
- •4. Итоговая оценка суммарных издержек:
- •5. Итоговая оценка суммарных издержек:
- •§ 19. Моделирование социально- экономической структуры общества.
- •1. Афанасьев м.Ю., Суворов б.Р. Исследование операций в экономике.-м.: Инфра-м, 2003.
1 3, 14, 23. Ясно, что точки 1 и 2 не доминируются другими. Они и образуютПарето - оптимальное множество. Среди них и нужно выбрать оптимальную.
Возможные подходы:
1. Предоставить окончательный выбор лицу, принимающему решение (например, совету директоров).
2. Воспользоваться объединяющей взвешивающей формулой:
φ = 2Μ - σ
φ1 = 2*1,118 - 0,034 = 2,202
φ2 = 2*1,196 - 0,22 = 2,172
Содержательно оптимальность неоторого портфеля по Парето означает, что не существует другого портфеля, который имеет такой же (или больший) ожидаемый доход при меньшем (или таком же) риске.
3. Страхование от убытков на фондовой бирже.[ 5]
Пусть предприниматель имеет акцию, рыночная цена которой на фондовой бирже 100 $.
Однако, из-за возможного падения курса акций в будущем он может понести убытки. Для подстраховки, биржа предлагает купить за 5 $ ценную бумагу- опцион со сроком исполнения 1 месяц. Это значит, что в последний день предстоящего месяца предприниматель, предъявив опцион, сможет продать акцию по той же цене 100 $ независимо от сложившегося курса.
Пусть известен вероятностный прогноз курса:
Курс |
-10 |
0 |
10 |
Вероятность |
0,5 |
0,4 |
0,1 |
Модель позволит ответить на вопрос, выгодна ли покупка опциона. В самом деле:
а) без опциона
Пусть I- прибыль (случайная величина), тогда
I |
-10 |
0 |
10 |
p |
0,5 |
0,4 |
0,1 |
M (I) = -10*0,5 + 0 + 10*0,1 = -4
D (I) = (-10)2 * 0,5 + 0 + 102*0,1 – (-4)2= 44
σ (I) = 6,6
б) с опционом:
I |
-5 |
-5 |
5 |
p |
0,5 |
0,4 |
0,1 |
M (I) = -4
D (I) = 9
σ (I) = 3
Во втором случае риск оказался меньше! – Следует, все-таки купить опцион.
Заметим, что в США, опцион – put, а в Англии – call.
§ 17. Математическая модель управления запасами
Задача управления запасами играет весьма важную роль для любой торговой или дистрибьютерской фирмы.
Управление запасами - это центральная проблема операционного менеджмента.
Задача управления запасами возникает тогда, когда на складе компании нужно создать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном промежутке времени [3].
Модель управления запасами позволит ответить на два вопроса- когда заказывать новые изделия и сколько их заказывать.
Модель оптимального размера заказа.
Основные предположения модели :
1. В момент полного исчерпания запасов склада мгновенно поступает ранее заказанная партия запасов в количестве q.
2. С другой стороны со скоростью V ед. Запасов/ ед. Времени запасы отпускаются потребителям:
Сказанное иллюстрирует рис. 17.1
Рис. 17.1
Наивысшего уровня запас на складе достигает в момент поставки заказа и спустя время T = Q/v уровень запасов достигает 0. В этой точке происходит новое поступление партии товаров и уровень запасов немедленно увеличивается до своего максимального значения.
Ясно, что излишние запасы Q влекут омертвление капитала, вынужденную распродажу по сниженной цене. С другой стороны, нехватка запасов приводит к дефициту, потере репутации, переходу клиентов к конкурентам и т.д.
Именно поэтому, важно найти “ золотую середину”, т. е оптимальный уровень запасов Qопт.
Еще раз повторим, модель должна дать ответ на два вопроса:
- какое количество Q заказывать
- когда заказывать.
Чтобы построить модель рассмотрим два типа издержек:
1. Н- издержки хранения единицы запасов в ед. времени. (holding cost).
В эти издержки включают упущенную выгоду от
не использования запасов, а также аренду склада, страховку, налоги.
Так как средний уровень запасов на складе Q/2 , то средние издержки хранения всех запасов в единицу времени
(Q/2)* H.
2. S- накладные (административные) расходы, связанные с оформлением заказа на партию запасов (set up cost).
В эти издержки включаются оплата труда менеджеров ведущих заказ, офисные расходы и т.п.
Пусть Т- время, в течение которого запасы полностью опустошаются, тогда накладные расходы в ед. времени S/T, при этом Т = Q/v. Итак, (Sv)/Q.
Суммарные издержки имеют вид:
С =
Итак, требуется найти такой запас Q, при котором суммарные издержки будут минимальными.
Отметим, что если размер запаса Q не велик, то превалируют накладные издержки (чаще приходится оформлять заказ). С другой стороны, если размер запаса Q велик, то превалируют издержки хранения.
Сказанное иллюстрирует график:
Рис. 17.2
Из графика видно, что в оптимальной точке Qопт кривая суммарных затрат заметно выравнивается. Это означает, что вблизи точки минимума суммарные затраты не обладают высокой чувствительностью. Поэтому, найдя Qопт можно это значение немного изменить, если это соответствует потребностям фирмы.
Чтобы найти Qопт достаточно продифференцировать С в (17.1):
Пример.
Предприниматель арендовал склад для хранения и продажи цемента. Накладные издержки составляют 2000$ (S =2000). Издержки хранения 1т. запасов 0,1 $ в сутки (Н=0,1). Спрос- 50т/сутки (v=50). Найти оптимальный размер заказа и его периодичность (Q=?, Т=?).
По формуле Уилсона
Пример.
Компания во Владивостоке продает подержанные японские автомобили (с автостоянки) стоимостью 10тыс $. Издержки хранения в год составляют 30% от стоимости машины (Н=3т). Накладные расходы – 1т $ в год (S=1 тыс). Годовой спрос 100 машин.
По формуле Уилсона:
Пример.
Потребность цеха сборки завода “ЗИЛ” в деталях составляет 120000 деталей в год. Хранение детали на складе стоит 0,35 у.е. в сутки, а поставка партии 10000 у.е. в год. Определить наиболее экономичный размер партии деталей (Q= ?) и интервал между поставками.
Имеем: Н= 0,35* 365, S= 10000, v = 120000.
Воспользуемся формулой Уилсона.