- •§ 1. Балансовые модели
- •1. Войти в excel
- •1. В первом столбце таблицы перечислены “чистые отрасли”, более или менее цельные, самостоятельные (энергетика, металлургия, машиностроение, оборонка, сельское хозяйство и т.Д.)
- •§ 3. Общая постановка задачи линейного программирования. Симплекс- метод
- •1. Множество решений системы (1) из § 2 является выпуклым многогранником (напомним, что выпуклое множество вместе с любыми двумя точками содержит все точки соединяющего их отрезка).
- •2. Вершины многогранника называются угловыми точками.
- •2. Приводим задачу к каноническому виду:
- •3. Составляем исходную симплекс-таблицу (заметим, что в разных учебных пособиях форма симплекс- таблицы различна!):
- •4. Проверяем опорное решение на оптимальность: если все элементы оценочной строки неотрицательны, то опорное решение оптимально. В нашем случае это не так.
- •1. Если в оценочной строке последней симплекс- таблицы все коэффициенты при балансовых переменных больше 0, то оптимальное решение единственно.
- •§ 4. Двойственные задачи (dual problem).
- •1. Построение математической модели:
- •§ 5. Транспортная задача (transportation
- •1. Вывести весь груз поставщиков (запасы)
- •2. Удовлетворить весь спрос потребителей
- •3. Минимизировать суммарные затраты.
- •1. Нахождение начального опорного плана (угловой точки).
- •2. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •3. Переход к новому опорному плану, лучшему, чем предыдущему.
- •4. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •1. Нахождение начального опорного плана (угловой точки).
- •2. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •3. Переход к новому опорному плану, лучшему, чем предыдущему.
- •50 Изделий из Стокгольма в Лион
- •1. Нахождение начального опорного плана (угловой точки).
- •2. Проверка опорного плана на оптимальность.
- •§ 6 Задача о назначениях (assignment problem).
- •1. Образовать таблицу затрат с.
- •§ 7 Задачи нелинейного программирования
- •§ 8 Игры двух лиц с нулевой суммой (theory of games).
- •1. Наличие двух игроков а и в, с противоположными целями. Поэтому игру и называют антагонистической.
- •2. Наличие у каждого игрока конечного числа ходов, называемых также чистыми стратегиями. Каждый игрок знает чистые стратегии соперника, но не знает какую чистую стратегию тот применит.
- •3. Игроки независимо выбирают чистые стратегии (ходы), после чего игра (партия) заканчивается и каждому игроку выплачивается выигрыш, причем сумма выигрышей равна нулю.
- •4. Все возможные выигрыши аij игрока а сосредоточены в платежной матрице:
- •2. Пусть игрок а обладает 4 чистыми стратегиями. Будут ли следующие векторы смешанными стратегиями?
- •2. Пусть игрок а имеет две чистых стратегии.
- •§ 10 Сведение матричных игр с нулевой суммой к задачам линейного программирования
- •§ 11. Итерационный метод (Брауна – Робинсона).
- •§ 12. Игры с природой (статистические решения)
- •1. Критерий крайнего оптимизма.
- •2. Критерий Вальда
- •3. Критерий Гурвица
- •4. Критерий Сэвиджа
- •5. Критерий Лапласа
- •1. Критерий крайнего оптимизма.
- •§ 13. Модели принятия решений с помощью деревьев решений.
- •1. Изображаем дерево решений, указывая все этапы процесса принятия решений.
- •1. Изображаем дерево решений, указывая все этапы процесса принятия решений.
- •1. Оптимизация 4-го шага, т.Е. Решение задачи:
- •2. Оптимизация 3-го шага, т.Е. Решение задачи:
- •3. Оптимизация 2-го шага, т.Е. Решение задачи:
- •4. Оптимизация 1- го шага → табл.5
- •5. Обратный ход – окончательный оптимальный набор шаговых уравнений
- •80, Третьему- 40, четвертому - 40.
- •§ 15 Вероятностные модели
- •2. Формирование оптимального портфеля акций
- •1 3, 14, 23. Ясно, что точки 1 и 2 не доминируются другими. Они и образуютПарето - оптимальное множество. Среди них и нужно выбрать оптимальную.
- •1. Предоставить окончательный выбор лицу, принимающему решение (например, совету директоров).
- •2. Воспользоваться объединяющей взвешивающей формулой:
- •§ 17. Математическая модель управления запасами
- •1. В момент полного исчерпания запасов склада мгновенно поступает ранее заказанная партия запасов в количестве q.
- •2. С другой стороны со скоростью V ед. Запасов/ ед. Времени запасы отпускаются потребителям:
- •§ 18. Моделирование социально- экономической структуры общества.
- •§ 16. Дисперсионный анализ
- •1. Пусть х- случайная величина, определяющая результативный признак , в данном случае- производительность. Фактор а- методика обучения.
- •3. Подсчитываем факторную дисперсию:
- •4. Подсчитываем остаточную дисперсию:
- •5. Вычисляем значение критерия Фишера:
- •7. Находим число степеней свободы числителя (v1 ) и
- •§ 19. Имитационное моделирование (model simulation)
- •4. Итоговая оценка суммарных издержек:
- •5. Итоговая оценка суммарных издержек:
- •§ 19. Моделирование социально- экономической структуры общества.
- •1. Афанасьев м.Ю., Суворов б.Р. Исследование операций в экономике.-м.: Инфра-м, 2003.
1. Если в оценочной строке последней симплекс- таблицы все коэффициенты при балансовых переменных больше 0, то оптимальное решение единственно.
2. Если в оценочной строке последней симплекс таблицы хотя бы один из коэффициентов при балансовых переменных равен 0, то задача имеет бесконечное множество оптимальных решений (альтернативный оптимум).
Можно ли получить дополнительную экономическую информацию? Оказывается, да и весьма существенную- этот вопрос мы рассмотрим в следующем параграфе.
§ 4. Двойственные задачи (dual problem).
Вновь рассмотрим модель из предыдущей лекции:
|
Ресурсы |
Запасы |
Расх. коэфф. |
|
1 2 3 | ||
|
труд |
120 |
6 5 4 |
|
сырье |
96 |
3 2 4 |
|
оборудование |
180 |
5 3 3 |
|
Прибыль, у.е. |
|
9 10 16 |
6х1 + 5х2 + 4х3 ≤ 120 6у1 +3у2 + 5у3 ≥ 9
3х1 + 2х2 + 4х3 ≤ 96 5у1 +2у2 + 3у3 ≥ 10
5х1 + 3х2 + 3х3 ≤ 180 4у1 +4у2 + 3у3 ≥ 16
х1, х2, х3 ≥ 0 у1, у2, у3 ≥ 0
F= 9х1 + 10х2 + 16х3 → max G = 120y1 + 96у2 + 180y3 → min
Напомним, что Х опт = (0, 8, 20), Fmax = 400
Рядом с исходной моделью выписана так называемая двойственная задача.
Внимательный студент легко поймет, как по исходной задаче записать двойственную и обратно.
Переменные уi называются двойственными.
Из любого ограничения двойственной задачи следует, что размерность уi совпадает с размерностью правой части (рубли/ ед. ресурса). Поэтому уi имеют смысл цены единицы ресурса. Их так и называют – теневые цены ресурсов (shadow prices).
Теневая цена, также, указывает на величину прироста максимума прибыли от дополнительного вовлечения в производство 1 ед. ресурса. Это прямо вытекает из вида функции G. Поэтому,
сравнивая теневые цены ресурсов можно решить, в какой из ресурсов выгоднее инвестировать дополнительные средства !.
Это существенный экономический вывод!
Оказывается, уi легко найти по решению исходной задачи: так как х2 и х3 не равны 0, то второе и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства!
5у1 +2у2 + 3у3 = 10
4у1 +4у2 + 3у3 = 16
Более того, так как при подстановке оптимального решения Х опт = (0, 8, 20) в систему ограничений исходной задачи третье ограничение обращается в строгое неравенство, то у3 =0. Получаем
5у1 +2у2 = 10
4у1 +4у2 = 16
Итак, у1 =2/3, у2 =10/3.→ уопт = (2/3, 10/3, 0)
Таким образом, дополнительные средства выгоднее вкладывать в закупку сырья (у2 > у3). Еще раз подчеркнем, что у2=10/3 указывает на величину ожидаемого прироста максимума прибыли от дополнительного вовлечения в производство 1 ед. сырья.
Это даст наибольший прирост максимума прибыли!
Итак, наряду с расчетом оптимальной производственной программы, решается задача оптимального расширения существующего производства за счет дополнительного привлечения ресурсов к уже имеющимся объемам!
Отметим также что Fmax = 400, Gmin = 120* (2/3) + 96* (10/3) +180 *(0) =400. И это всегда так!
Таким образом, сами оптимальные значения обоих задач совпадают: Fmax = Gmin.
Экономический смысл этого равенства: предприятию безразлично- выпускать продукцию следуя оптимальному плану или, быть может, взять да продать ресурсы по теневым ценам и, тем самым, возместить понесенные затраты.
Отметим еше дополнительный смысл теневых цен: цены должны быть не слишком низкими (в ограничениях знак ≥ ) и покупателю ресурсов должна быть выгодна покупка (G → min)!.
Заметим также, что оптимальное решение двойственной задачи можно получить по последней симплекс - таблице исходной задачи:
достаточно лишь найти абсолютные значения балансовых переменных. Под ними в оценочной строке и будет располагаться оптимальное решение двойственной задачи. Так, в § 3 оптимальное решение двойственной задачи (2/3, 10/3, 0). Впрочем, выше мы получили тот же результат из других соображений.
Итак, решение двойственной задачи дает важное экономическое дополнение к решению исходной задачи.
Пример:
Для производства четырех видов изделий А1, А2, А3 и А4 завод должен использовать три вида сырья I, II и III. Запасы сырья на планируемый период составляют, соответственно, 1000, 600 и 150 единиц.
Расходные коэффициенты (расход каждого вида сырья на производство единицы каждого изделия) и прибыль от реализации единицы каждого изделия приведены в таблице.
|
Виды сырья |
Технологические коэффициенты |
Запасы сырья | |||
|
А1 |
А2 |
А3 |
А4 | ||
|
I |
5 |
1 |
0 |
2 |
1000 |
|
II |
4 |
2 |
2 |
1 |
600 |
|
III |
1 |
0 |
2 |
1 |
150 |
|
Прибыль от реализации |
6 |
2 |
2,5 |
4 |
|
Требуется, зная решение данной задачи, решить задачу, двойственную ей.