Борзенко,Зайцев

Подпрограммы расчета термодинамических и калорических параметров криогенных рабочих веществ. В программах систем автоматизированного проектирования тепловых процессов в элементах криогенных установок с использованием современных ЭВМ особое место отводится подсистеме, описывающей термические и калорические свойства рабочих веществ.

На базе уравнений (1.5)–(1.13) разработана единая подсистема расчета термодинамических и калорических параметров основных рабочих веществ [10, 11] криогенных установок и систем. Значения параметров этих веществ можно рассчитывать с помощью отдельных подпрограмм-функций, структурно входящих в данную подсистему.

Коэффициент сжимаемости z и давление p реального криогенного рабочего вещества по известной плотности ρ и температуре T определяем с помощью подпрограмм, изображенных на рис. 1.1 и 1.2 .

FUNCTION CRZ(RO,T)

СВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СЖИМАЕМОСТИ

COMMON /A/ TKR, PKR, ROKR, R COMMON /Е/ В(10, 8)

W=RO/ROKR

TAU=T/TKR

SUM=0.0

DO 1 I=1,10 DO 1 J=1,8

1 SUM=SUM+B(I,J)*W**I/TAU**(J-1) CRZ=1.+SUM

RETURN

END

Рис. 1.1. Подпрограмма вычисления коэффициента сжимаемости

В подпрограммах на рис. 1.1 и 1.2 приняты следующие идентификаторы: W – приведенная плотность; RO, ROKR – плотность и критическая плотность; TAU – приведенная температура; Т, TKR – температура и критическая температура; Р, PKR – давление и критическое давление; R – специфическая газовая постоянная; B(I,J) – коэффициенты разложения уравнения (1.5).

Здесь и далее в качестве иллюстраций приведены фрагменты работающего пакета прикладных программ на одной из базовых версий языка Фортран.

2

FUNCTION CRP(RO,T)

СВЫЧИСЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ

COMMON /A/ TKR, PKR, ROKR, R CRP=CRZ(RO,T)*R*T*RO*1.E-6

RETURN END

Рис. 1.2. Подпрограмма вычисления давления

Уравнение состояния (1.5) может быть решено в явном виде только относительно коэффициента сжимаемости и давления. Поэтому для определения плотности с помощью указанного уравнения применяем один из итерационных методов, в частности метод Ньютона, для чего вначале определяем частную производную (∂p∂ρ)T , численное значение которой находим с помощью вспомогательной подпрограммы (рис. 1.3).

FUNCTION CRPDRO(RO,T)

СВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДАВЛЕНИЯ ПО

СПЛОТНОСТИ ПРИ ПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ

COMMON /A/ TKR, PKR, ROKR, R

COMMON /E/ B(10,8) TAU=T/TKR W=RO/ROKR

SUM=0.0

DO 1 I=1,10 DO 1 J=1,8

1 SUM=SUM+B(I,J)*I*W**I/(RO*TAU**(J-1)) CRPDRO=R*T*(RO*SUM+CRZ(RO,T))*1.E-6

RETURN

END

Рис. 1.3. Вспомогательная подпрограмма для определения плотности рабочего вещества

Подпрограмма на рис. 1.3, в свою очередь, используется в основной расчетной подпрограмме CRRO(P,T,N) при определении плотности рабочего вещества по заданным значениям давления и температуры.

3

Плотность рабочего вещества определяем по подпрограмме,

показанной на рис. 1.4.

FUNCTION CRRO(P,T,N)

СВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ В ЖИДКОСТНОЙ

СОБЛАСТИ N=0; В ПАРОВОЙ ОБЛАСТИ N=1

COMMON /A/ TKR,PKR,ROKR,R KN=0

IF(N.EQ.0) W=2.5 IF(N.EQ.1) W=0.02 RO=ROKR*W

1 EPS=(CRP(RO,T)-P)/CRPDRO(RO,T) KN=KN+1

IF(KN.GT.25) GO TO 2

RO=RO-EPS

IF(ABS(EPS).GT. 0.0001) G0 TO 1

GO TO 3

2CONTINUE RO=CRROL(P,T)

3CONTINUE

CRRO=RO

RETURN END

Рис. 1.4. Подпрограмма расчета плотности рабочего вещества в зависимости от фазового состояния

Как видим, сходимость решения осуществляется по заданной точности EPS, а число приближений задается величиной KN. Область состояния рабочего вещества задается значением переменной N: для жидкости N = 0 , для парогазовой смеси N =1. В соответствии с этим подпрограмма (см. рис. 1.4) для области жидкости записывается как CRRO(P,T,0), а для парогазовой части p–v–T-пространства – как

CRRO(P,T,1).

Ha базе этой подпрограммы разработана универсальная подпрограмма (рис. 1.5), в которой с помощью логических операторов автоматически определяется область состояния реального газа и выбирается соответствующий алгоритм расчета плотности по давлению и температуре.

4

FUNCTION FRO(P,T)

СВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ

COMMON /A/ TKR,PKR,ROKR,R COMMON /T/ TS

IF(P.LT.PKR) TS=FTS(P) IF(T.GT.TKR) FRO=CRRO(P,T,1)

IF(Т.LT.TKR.AND.P.GT.PKR) FRO=CRROL(P,T)

IF(T.LT.TKR.AND.P.LT.PKR. AND.T.LT.TS) FRO=CRROL(P,T) IF(T.LT.TKR.AND.P.LT.PKR.AND.T.GT.TS) FRO=CRRO(P,T,1)

RETURN END

Рис. 1.5. Универсальная подпрограмма расчета плотности по давлению и температуре

На рис. 1.5 FTS(P) – подпрограмма расчета температуры насыщения по давлению.

Энтальпию реального рабочего вещества определяем по плотности и температуре [см. уравнение (1.7)]. Подпрограмма расчета энтальпии изображена на рис. 1.6.

FUNCTION CRH(RO,T)

CВЫЧИСЛЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ

COMMON /A/ TKR,PKR,ROKR,R COMMON /E/ B(10,8)

SUM=0.0

DO 20 J=1,8

DO 20 I=1,10

AI=I

BJ=J-1

AB=(AI+BJ)/AI

20SUM=SUM+B(I,J)*(RO/ROKR)**I/(T/TKR)**(J-1)*AB CRH=H0(T)+R/1000.*T*SUM

RETURN

END

Рис. 1.6. Подпрограмма расчета энтальпии реального рабочего вещества

Для вычисления энтальпии рабочего вещества используем две вспомогательные подпрограммы: СР0(Т) – для определения изобарной теплоемкости [см. уравнение (1.12)] и Н0(Т) – для определения энтальпии [см. уравнение (1.10)] в идеально-газовом состоянии. Эти подпрограммы показаны на рис. 1.7 и 1.8.

5

FUNCTION СР0(Т)

СВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ

CИДЕАЛЬНО-ГАЗОВОГО СОСТОЯНИЯ

COMMON /C/ A(10),C(10) ТЕТА=Т/100.

SUM=0.0 DO 15 I=1,10

15SUM=SUM+A(I)*TETA**(I-1)+C(I)/TETA**I

RETURN END

Рис. 1.7. Подпрограмма расчета изобарной теплоемкости

FUNCTION H0(T)

CВЫЧИСЛЕНИЕ ИДЕАЛЬНО-ГАЗОВОЙ ЭНТАЛЬПИИ

EXTERNAL СP0

COMMON /B/ H00,Н000,S00,S000,T0 Y=GAUSS(T0,Т,CP0,25)

H0=H00+H000+Y

RETURN END

Рис. 1.8. Подпрограмма расчета энтальпии в идеально-газовом состоянии

Для вычисления определенного интеграла в уравнениях (1.10) и (1.11) применяем стандартную процедуру GAUSS. В подпрограммах (см. рис. 1.6–1.8) приняты следующие идентификаторы: H0 – энтальпия в идеально-газовом состоянии; СР0 – изобарная теплоемкость в идеально-газовом состоянии; Н00 – энтальпия при T0 (см. таблицу); Н000 – теплота сублимации при T = 0 К.

Энтропию, согласно подпрограмме на рис. 1.9, рассчитываем подобно энтальпии (см. рис. 1.6) по плотности и температуре. При этом используем две вспомогательные подпрограммы (рис. 1.10 и 1.11): CP0T(T), в которых определяем значение подынтегрального отношения СР0/Т, и S0(T) – для вычисления энтропии в идеально- газовом состоянии [см. уравнение (1.11)].

6

FUNCTION CRS(RO,T)

СВЫЧИСЛЕНИЕ ЭНТРОПИИ

COMMON /A/ TKR,PKR,ROKR,R COMMON /E/ В(10,8)

W=RO/ROKR W0=0.101325/(ROKR*R*T*1.E-6) TAU=T/TKR

SUM=0.0 DO 1 I=1,10

DO 1 J=1,8 A=I BJ=J-2 AB=BJ/A

1 SUM=SUM+AB*B(I,J)*W**I/TAU**(J-1) CRS=S0(T)-(R/1000.)*ALOG(W/W0)+(R/1000.)*SUM RETURN

END

Рис. 1.9. Подпрограмма расчета энтропии рабочего вещества

FUNCTION СР0Т(Т)

СР0Т=СР0(Т)/Т

RETURN END

Рис. 1.10. Вспомогательная подпрограмма для вычисления энтропии

FUNCTION S0(T)

CВЫЧИСЛЕНИЕ ИДЕАЛЬНО-ГАЗОВОЙ ЭНТРОПИИ

EXTERNAL CP0T

COMMON /B/ H00,H000,S00,S000,Т0

Y=GAUSS(T0,T,CP0T,25)

S0=S00+S000+Y RETURN

END

Рис. 1.11. Подпрограмма для расчета энтропии в идеально-газовом состоянии

7

В подпрограммах (см. рис. 1.9–1.11) использованы следующие идентификаторы: S0 – энтропия в идеально-газовом состоянии; S00 – энтропия при T0; S000 – константа уравнения (1.11).

Подпрограммы вычисления теплоемкости при постоянном давлении или объеме по плотности и температуре (рис. 1.12 и 1.13) разработаны на базе соотношения (1.9).

FUNCTION CRCP(RO,T)

СВЫЧИСЛЕНИЕ ИЗОБАРНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ

COMMON /A/ TKR,PKR,ROKR,R COMMON /Е/ В(10,8)

W=RO/ROKR

TAU=T/TKR

SUM1=0.0

SUM2=0.0

SUM3=0.0 DO 1 I=1,10 DO 1 J=1,8

AI=I

BJ=(J-2)*(J-1) AB=BJ/AI

SUM1=SUM1+AB*B(I,J)*W**I/TAU**(J-1) SUM2=SUM2+(J-2)*B(I,J)*W**I/TAU**(J-1)

1 SUM3=SUM3+(I+1)*B(I,J)*W**I/TAU**(J-1)

CV0=CP0(T)-R/1000. CRCP=CV0-R/1000.*SUM1+R/1000.*(1-SUM2)**2/(1+SUM3) RETURN

END

Рис. 1.12. Подпрограмма расчета теплоемкости при постоянном давлении

Значительная часть реальных процессов характеризуется параметрами состояния рабочего вещества на пограничных кривых или в двухфазной области. Для вычисления этих параметров давление насыщенных паров определяем по подпрограмме (рис. 1.14), разработанной с использованием уравнения (1.6).

8

FUNCTION CRCV(RO,T)

CВЫЧИСЛЕНИЕ ИЗОХОРНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ

COMMON /A/ TKR,PKR,ROKR,R COMMON /E/ В(10,8)

W=RO/ROKR

TAU=T/TKR

SUM1=0.0 DO 1 I=1,10 DO 1 J=1,8

AI=I BJ=(J-2)*(J-1) AB=BJ/AI

1 SUM1=SUM1+AB*B(I,J)*W**I/TAU**(J-1)

CV0=CP0(T)-R/1000. CRCV=CV0-R/1000.*SUM1 RETURN

END

Рис. 1.13. Подпрограмма расчета теплоемкости при постоянном объеме

FUNCTION CRPS(T)

СВЫЧИСЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ НАСЫЩЕННЫХ ПАРОВ

COMMON /D/ F(10) ТЕТА=Т/100.

SUM=0.0 DO 1 I=1,10

1 SUM=SUM+F(I)*TETA**(I-2) CRPS=10.**(SUM) RETURN

END

Рис. 1.14. Подпрограмма расчета давления насыщенных паров

На рис. 1.14 F(I) – коэффициент аппроксимации fi в уравнении (1.6).

В ряде случаев приходится решать обратную задачу, т. е. по давлению насыщенных паров вычислять соответствующую температуру. Для этого используем подпрограмму, в которой методом Ньютона решается уравнение p − pнас(T )= 0 (рис. 1.15).

9

FUNCTION FTS(P)

СВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НАСЫЩЕНИЯ

COMMON /A/ TKR,PKR,ROKR,R COMMON /D/ F(10)

T=0.8*TKR

1 EPS=(CRPS(T)-P)/CRPSTS(T) T=T-EPS

IF(EPS.GT.0.001)GO TO 1 FTS=T

RETURN END

Рис. 1.15. Подпрограмма расчета температуры насыщения

При анализе тепловых процессов в парогенерирующих элементах криогенных систем часто возникает необходимость в расчете теплоты парообразования. В разработанной системе обеспечения вычислительного эксперимента эта термодинамическая величина может быть найдена по изображенной на рис. 1.16 подпрограмме

FUNCTION CRR(T)

СВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕПЛОТЫ ПАРООБРАЗОВАНИЯ ПО

СУРАВНЕНИЮ КЛАЙПЕРОНА-КЛАУЗИСА

P=CRPS(T)

DPSDT=(CRPS(T+0.001)-CRPS(T-0.001))/0.002 DV=(1/CRRO(P,T,1)-1/CRRO(P,T,0)) CRR=T*DPSDT*DV/1000.

RETURN

END

Рис. 1.16. Подпрограмма расчета теплоты парообразования

При решении ряда задач гидродинамики важно знать скорость звука. Для ее вычисления используем подпрограмму, разработанную на базе соотношений, приведенных в [5] (рис. 1.17). В подпрограмме

на рис. 1.17 VSO – скорость звука a0 = RTc p cv .

10