Борзенко,Зайцев

треугольная волны).

При моделировании динамических процессов наиболее часто применяют единичное скачкообразное возмущение, которое описывается следующим образом:

x(τ)= 0, τ < 0;1, τ ≥ 0.

Реакция объекта характеризуется разгонной характеристикой, которая дает наиболее полное представление об инерционности анализируемой системы.

Современные системы криогенного обеспечения объектов термостатирования представляют собой сложную разветвленную структуру, содержащую элементы, связанные друг с другом материальными и энергетическими потоками. Поэтому при анализе динамических процессов целесообразно применять комбинированные модели отдельных структурных узлов, состоящие из распределенных и сосредоточенных математических моделей отдельных элементов. Данный подход находит широкое применение при решении динамических и статических задач и, как следует из работ [10, 11, 18, 26], обеспечивает достаточно высокую точность решения.

3.2.Моделирование динамических режимов

втеплообменных и парогенерирующих элементах КГС

При определении динамических характеристик элементов теплоэнергетических систем используют два подхода. В одном случае применяют аналитические методы решения исходной системы уравнений [26], а в другом – численные методы с использованием

ЭВМ [10, 16–18].

При решении линеаризованной системы уравнений динамики теплопередающей поверхности по методу преобразования Лапласа иногда принимают допущение о постоянстве плотности, теплоемкости рабочего вещества и коэффициента теплоотдачи. Однако при анализе динамических характеристик теплообменных

22

аппаратов криогенных систем в ряде случаев такие упрощения неправомерны, поскольку теплофизические свойства криогенных веществ при высоких давлениях и низких температурах изменяются по нелинейному закону, что особенно относится к теплообменным аппаратам нижних ступеней охлаждения КГУ и ступеней использования охлаждения КГС. Одновременно с этим при криогенных температурах резко меняются теплофизические свойства материалов оболочки канала. Так, теплоемкость стенки в распределенной модели теплообменного аппарата может изменяться по его длине на несколько порядков: при T = 80 К удельная теплоемкость меди cм = 0,2 кДж/(кг К), а при Т = 8 К ее значение равно 0,0005 кДж/(кг К). Поэтому наиболее оправданным является применение численных методов, которые позволяют решить исходную систему уравнений с учетом изменения реальных теплофизических свойств рабочих веществ и материала оболочки канала.

Как и при решении задач статики можно воспользоваться методом элементарных балансов для подвижных сред.

В задачах динамики должно быть задано исходное состояние анализируемой системы, поэтому решение их с помощью математических моделей происходит на основе данных, характеризующих стационарный режим.

При исследовании переходных режимов прежде всего важно знать разгонную характеристику элементов системы, ступеней охлаждения, которая представляет собой реакцию объекта на скачкообразное возмущение. Однако при исследовании низкотемпературных элементов КГС особый интерес представляют гармонические возмущения. В каналах оболочки теплообменных аппаратов при температурах порядка 4,2 К могут создаваться условия для возникновения явления резонанса температур. Например, установлено, что явление резонанса происходит в теплообменнике с нулевым отношением теплоемкости трубки и охладителя и нулевым тепловым сопротивлением между рабочим веществом и трубкой.

Математическая модель динамических режимов

распределенного рекуперативного теплообменного аппарата. При решении задачи сохраняются все допущения, принятые в анализе статической модели (см. подразд. 2.1). Расчетная схема

23

теплообменного аппарата изображена на рис. 3.1.

в подсистемах рекуперативного теплообменного аппарата

Для элементарного объема прямого потока, заключенного между сечениями i+1 и i, уравнение теплового баланса можно записать в виде

аккумулированной в элементарном объеме Vi прямого потока за

количество теплоты, выведенной прямым потоком через сечение i за

от прямого потока через теплопередающую поверхность оболочки канала за тот же промежуток времени.

Для элементарного объема Vi′′ обратного потока уравнение теплового баланса имеет вид

(3.2)

24

Для обеспечения устойчивости решения системы уравнений (3.4) необходимо выбирать шаг по времени и число участков n из условия обеспечения положительного значения всех коэффициентов у каждого из слагаемых уравнений.

Число участков n выбираем, исходя из тех же условий, что при решении статических моделей (см. подразд. 2.3).

Расчетный промежуток времени для подсистемы Прямой поток

При выборе шага по времени необходимо еще учитывать дополнительное ограничение, вытекающее из подвижности среды, т. е.

wmax

где li – длина элементарного участка канала; wmax – максимальная скорость движения рабочего вещества.

При расчете динамических характеристик теплообменного аппарата для повышения устойчивости решения и сокращения затрат машинного времени принимаем следующий порядок решения. Для учета аккумуляции теплоты во всех подсистемах аппарата вводим понятие приведенной теплоемкости, отнесенной к массе материала оболочки канала, т. е.

26

По уравнению (3.7) рассчитываем температуру стенки Θi,τ+Δτ в каждый последующий момент. Динамические коэффициенты этого уравнения определяем с учетом значения приведенной теплоемкости систем:

Ezi,τ = 1 − (Eyi,τExi,τ ).

Температуру прямого и обратного потоков в момент τ определяем по известным выражениям:

для прямого потока

где

где

27

теплообменнике имеет краевой характер, уравнения (3.4)–(3.9) решаем по известным начальным параметрам потока на входе и выходе аппарата.

Блок-схема расчета динамических характеристик изображена на рис. 3.2.

28

Начало

1

Ввод p′, p′′ ,

1 1

T1′ , F ′, F ″,

M, G ′, G ″, N

Конец

Рис. 3.2. Блок-схема алгоритма расчета динамических характеристик рекуперативного теплообменного аппарата

29

В блоке 1 осуществляется ввод исходной информации, при этом исходное распределение температур определяется блоком 3 в результате решения подпрограммы Теплообменник. В блоке 2 находится программа, процедуры которой используются для вычисления параметров термодинамического поля рабочих веществ в блоках 5 и 6. Блоком 4 вводится исходное значение шага по времени Δτ и счетчик циклов прогонки решений K. В блоке 7 определяется знак коэффициентов конечно-разностных выражений. В случае их положительных значений по явной схеме решения в блоке 8 отыскивается новое распределение температур подсистем в момент τ + Δτ. С помощью блока 9 решение повторяется с нарастанием шага по времени. Если один из коэффициентов имеет отрицательное значение, то берется новое значение Δτ = Δτ / 2 и решение возобновляется. В конце решения результаты счета выводятся на печать.

На рис. 3.3 и 3.4 показаны результаты моделирования динамических режимов в теплообменном аппарате сателлитного рефрижератора с избыточным обратным потоком [18].

Θ, К

60

1

2

40

3

переходный режим

30

Рис. 3.3. Изменение температуры стенки канала в теплообменном аппарате:

1 – Q = 1,5Q0; 2 – Q = 2Q0; 3 – Q = 3Q0; 4 –

Q = 4Q0;

(τ = 120 с; p1′= 2,5 МПа)

Динамическая модель аппарата разработана на базе уравнений (3.1)–(3.3). Переходные процессы в теплообменнике моделировались методом введения в криогенную установку скачкообразного возмущения тепловой нагрузки, что вызывало перераспределение потоков в аппарате вследствие увеличения обратного потока.

На рис. 3.3 показана разгонная характеристика наиболее инерционной подсистемы модели – оболочки канала. По мере увеличения возмущения, т. е. превышения доли обратного потока над долей прямого, характер разгонной характеристики в нижних сечениях аппарата изменяется. Так, если при Q = 1,5 Q0 она соответствует линейной закономерности, то при Q = 4 Q0 становится нелинейной.

Принятый подход и допущения при решении динамической задачи теплообменного аппарата позволяют (см. рис. 3.4) обеспечить вполне удовлетворительную адекватность физической модели – модели математической.

31