Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основные задачи 2-го семестра

Рис.1.3.

Решение. Рассматриваем балку в системе координат X , Y , Z , помещая ее начало в крайнее левое сечение. Вычисляем опорные реакции:

Проверка: Y 1,2 0,8 2 0 - реакции определены правильно.

Очевидно, что балка имеет два участка - BA и AC. Записываем выражение изгибающего момента для грузового (заданного) состояния на каждом из участков:

участок BA (0 z 2 ) - M х 1,2 z ;

участок AC ( 2 z 5 ) - M х 1,2 z 2 ( z 2 ) 4 0,8 z .

Для определения прогиба прикладываем в сечении А единичную силу (рис.1.3,б) и вычисляем опорные реакции:

M c 0; VB 5 1 3 0; VB 0,6;M B 0; VC 5 1 2 0; VC 0,4.

Проверка: Y 0,6 0,4 0 - реакции определены правильно.

Записываем выражения изгибающего момента для единичного состояния на тех же участках:

участок BA (0 z 2 ) - M1x 0,6 z ;

участок AC ( 2 z 5 ) - M1x 0,6 z 1 ( z 2 ) 2 0,4 z .

Вычисляем искомый прогиб, записывая интеграл Мора для каждого участка балки

Пример 1.3. Методом Мора определить прогиб балки в сечении A, если

Е 2 1011 Па, I х 2500 10 8 м4 (рис.1.4,а).

11

а

1

VB=0,8

VC=0,2

б

Рис.1.4

Решение. Рассматриваем балку в системе координат Х, Y, Z, помещая ее начало в крайнее левое сечение. Вычисляем опорные реакции.

M С 0; VB 5 2 4 2 2 0; VB 2,4 кН;

M В 0; VС 5 2 1 2 3 0; VС 1,6 кН.

Проверка: Y 2,4 1,6 2 2 0 - реакции определены правильно.

Разбиваем балку на три участка - BA, AD, DC. Записываем выражение изгибающего момента для грузового (заданного) состояния на каждом из участков:

участок BA (0 z 1) - M x 2,4 z ;

участок AD (1 z 3 ) - M x 2,4 z 2 ( z 1) 0,4 z 2 .

Для упрощения вычислений запишем изгибающий момент, действующий в поперечном сечении третьего участка DС, отсчитывая координату z от

правой опоры:

участок DС (0 z 2 ) - M x 1,6 z .

Для определения прогиба прикладываем в сечении A единичную силу (рис.1.4,б) и вычисляем опорные реакции.

Проверка: Y 0,8 0,2 1 0 - реакции определены правильно.

Записываем выражение изгибающего момента для единичного состояния на тех же участках:

12

опоры).

Вычисляем искомый прогиб, записывая интеграл Мора для каждого участка балки

Пример 1.4. Методом Мора для балки ступенчато-переменного сечения (рис.1.5, а) определить прогиб сечения A. Участок АВ имеет жесткость E I x ,

участок ВС - жесткость 2E I x .

q

а

1

бРис.1.5

Решение. Рассматриваем балку в системе координат Х, Y, Z, помещая ее начало в крайнее левое сечение. Разбиваем балку на два участка - AB и BC. Записываем выражения изгибающего момента для грузового (заданного) состояния на каждом из участков:

13

Для определения прогиба прикладываем на конце консоли единичную силу (рис.1.5,б) и записываем выражение для изгибающего момента от этой силы. Очевидно, что для обоих участков оно имеет вид

M1x 1 z .

Вычисляем искомый прогиб, записывая интеграл Мора

Пример 1.5. Определить прогиб на конце консольной балки переменного сечения, ширина которого изменяется по линейному закону, а высота постоянна (рис.1.6).

Рис.1.6

Решение. Начало координат помещаем в крайнее правое сечение. Для грузового (заданного) состояния записываем выражение изгибающего момента в сечении с абсциссой z:

14

M x P z .

Очевидно, что выражение для изгибающего момента от единичной силы в том же сечении имеет вид:

M1x 1 z .

Момент инерции сечения - величина переменная, зависящая от положения рассматриваемого сечения. Из подобия соответствующих треугольников находим ширину сечения на расстоянии z от начала координат

bbz zl ; bz zl b .

Момент инерции этого сечения

I x( z ) bzh3 z b h3 . 12 l 12

Обозначим через I x момент инерции сечения в заделке (z l ). Учитывая,

Пример 1.6. Методом Мора для рамы (рис.1.7,а) определить линейное перемещение шарнирно-подвижной опоры. Жесткость всех стержней рамы одинакова.

15

Рис.1.7

Решение. Вследствие симметрии нагрузки вертикальные опорные реакции рамы одинаковы и равны VA VD q2a , а горизонтальная реакция на левой

опоре равна нулю. Отсюда следует, что в поперечных сечениях вертикальных стержней рамы изгибающие моменты равны нулю. Аналитическое выражение для изгибающих моментов в поперечных сечениях горизонтального участка BC имеет вид

Освободим раму от внешней нагрузки. Для вычисления горизонтального перемещения правой опоры приложим единичную силу к подвижной опоре по направлению искомого перемещения, т.е. горизонтально. Возникающие при этом опорные реакции показаны на рис.1.7,б. Аналитическое выражение для изгибающих моментов от единичной силы имеет вид

M 1х 2а.

Таким образом, интеграл Мора следует вычислять только на участке BC. Искомое линейное перемещение шарнирно-подвижной опоры

т. е. шарнирно-подвижная опора перемещается по направлению единичной силы - вправо.

16

17

заданная статически неопределимая система превратилась в статически определимую.

Степень статической неопределимости системы, имеющей внутренние шарниры, меньше, чем подобной системы, но не содержащей таких шарниров.

Шарнир, соединяющий два стержня, называется одиночным или простым шарниром. Он снижает степень статической неопределимости на единицу. Шарнир, соединяющий n стержней, эквивалентен n-1 одиночным шарнирам. Таким образом, он снижает степень статической неопределимости на n-1.

Степень статической неопределимости и число лишних связей (Л) для сложных конструкций можно подсчитать по формуле

Л=3К-Ш, (1)

где К – число замкнутых контуров (в предположении полного отсутствия шарниров),

Ш – число шарниров в пересчете на одиночные (простые) шарниры.

Здесь в число замкнутых контуров следует включать и области, образованные опорными стерженьками и основанием сооружения. То есть, основание (землю) следует рассматривать как стержень. Группа стержней, жёстко связанных между собой (не разделенных шарнирами), также принимается за один стержень.

Для рамы, изображенной на рис. 4, а, учитывая, что жёсткая заделка эквивалентна закреплению тремя опорными стержнями, а шарнирнонеподвижная опора – двумя, число замкнутых контуров К=7.

Рис. 4. Статически неопределимая рама: а – схема рамы, б – схема к определению степени статической неопределимости рамы

Замкнутые контуры отмечены на рис. 4, б цифрами 1-7. Число одиночных шарниров (по одному в точках D, E, F, A, G, H, по два в точках C, B, N и по три в точках L, M)

Ш 1 6 2 3 3 2 18.

Число лишних связей

Л 3 7 18 3 .