Скачиваний:
159
Добавлен:
22.01.2014
Размер:
7.32 Mб
Скачать

закрепленную верхним концом. Высота стойки l 5 м, коэффициент запаса устойчивости ny 2,5; E 2 105 МН / м2 .

Решение. Из таблицы сортамента для заданного двутаврового профиля № 30а

выписываем

необходимые

данные

для

решения

задачи:

Jmin J y 436 см4 (4,36 106 м4 );

A 49,9 см2 (0,0499 м2 ) ; наименьший радиус

инерции imin 2,95 см (0,0295 м) .

 

 

 

 

Определяем гибкость стойки:

 

 

 

 

 

l

0,7 5 119 100,

 

 

 

 

 

imin

0,0295

 

 

 

 

следовательно, критическую нагрузку на стойку определяем по формуле Эйлера

P

Pкр

2EJ

9,87 2 105 4,36 10 6

0,281 МН ,

 

ny

nylпр2

2,5 3,502

 

где lпр l

0,7 5 3,5.

 

Пример 8.5. Стержень прямоугольного сечения закрепляется таким образом, что в плоскости наибольшей жесткости концы его могут свободно поворачиваться, а в плоскости наименьшей жесткости поворот концевых сечений исключен (рис. 8.8).

Определить допускаемое значение центрально приложенной сжимающей силы, если ny 4. Материал стержня - сталь 45, E 2 105 МПа.

Решение. В рассматриваемом случае закрепление концов стержня в главных плоскостях инерции различно, поэтому расчет следует вести исходя из опасности потери устойчивости вокруг той из главных осей, относительно которой гибкость стержня максимальна.

Определяем радиусы инерции сечения:

iy

J y

 

bh3

 

h

 

72

20,8 мм;

A

12bh

12

3,46

 

 

 

 

 

ix

J x

 

b3h

 

b

 

38

11 мм.

 

A

 

12bh

 

12

 

3,46

 

220

 

Определяем

значение

 

гибкости

 

относительно

главных осей

y

1l ;

 

 

 

 

 

 

 

 

iy

 

1 1,0

(концы

стержня

могут

 

поворачиваться):

 

 

 

 

 

 

y

1 2500 120;

 

 

 

 

 

 

20,8

 

 

 

 

 

 

 

x

2l ;

2

0,5

(концы стержня не

 

 

ix

 

 

 

 

 

 

 

могут поворачиваться):

 

 

 

 

x

0,5 2500

114 .

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, опаснее потеря

 

устойчивости

в

плоскости

наибольшей

 

жесткости, т.е. (Pкр) y (Pкр)x .

 

 

 

Рис. 8.8. Расчетная схема стержня.

Определяем

допускаемое

 

значение

сжимающей

силы.

Расчет

ведем

по

формуле Эйлера, так как y

пред 85:

 

 

 

P

Pкр

y

 

2EJ

y

 

3,14

2 2,0 105 106 0,038 0,0723

 

3

 

 

n

 

 

 

 

12

93 10

Н 93 кН .

nx

x

l 2

 

4 1 2,5 2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Пример 8.6. Проверить на устойчивость сжатую стойку трубчатого сечения (рис. 8.9) из хромомолибденовой стали ( пц 540 МПа, E 2,15 105 МПа), если требуемый коэффициент запаса устойчивости ny 3,5.

Решение. Определяем предельную гибкость стойки:

пред

E

3,14

2,15 105 106

63.

пц

540 106

 

 

 

Для определения гибкости стойки вычисляем момент инерции ее поперечного сечения (в данном случае любая центральная ось главная и все центральные моменты инерции равны между собой)

Jmin J

d 4

1 c

4

 

3,14

764

 

 

64

4

81,4 10

4

мм

4

81,4

10

8

м

4

;

64

 

64

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

76

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

затем площадь сечения

223

А

d 2

1 c2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,14 76

2

 

 

64

2

 

1319 мм2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

76

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и радиус его инерции

 

 

 

 

 

imin i

 

J

min

 

81,4 10

4

 

 

 

 

1319

24,8 мм.

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

Коэффициент

 

приведения

длины

0,7 (см. рис. 8.9).

 

 

 

 

 

Гибкость стойки

 

 

 

 

 

Рис. 8.9. Расчетная схема стойки

l

 

 

0,7

2,5 103

 

 

 

 

imin

 

 

 

24,8

 

 

70,7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как гибкость стойки больше предельной пред , то критическую силу определяем по формуле Эйлера

P

 

2EJmin

 

3,14 2,15 105 106 81,4 10 8

564 103 Н 564 кН .

кр

 

l 2

 

0,7 2,5 2

 

Определяем коэффициент запаса устойчивости и сравниваем с заданным:

ny PPкр 150564 3,76 ny .

Пример 8.7. Определить допускаемую нагрузку для стойки из стали Ст3 (рис. 8.10), c 160 МПа. Принять, что швеллеры, из которых состоит стойка,

надежно связаны между собой и сечение работает как монолитное. Расстояние с между швеллерами выбрать из условия

равноустойчивости стойки во всех

направлениях.

С каким коэффициентом запаса

устойчивости работает стойка при нагрузке,

равной допускаемой?

Решение. Равноустойчивость стойки во

всех направлениях будет обеспечена при

равенстве моментов инерции относительно осей х и у. Момент инерции сечения относительно оси х не зависит от расстояния

Рис. 8.10. Расчетная схема стойки с и определяется непосредственно на основе табличных данных:

J x 2J xI 2 304 608 см4 ,

где J xI 304 см4 -момент инерции одного швеллера по ГОСТ 8240-72. Момент инерции относительно оси у

222

J y 2 J yI1 c12 A1

где J yI1 31,2 см4 - момент инерции швеллера относительно собственной главной

центральной оси y ;

A 13,3 см2 - площадь сечения одного швеллера.

 

 

 

1

1

 

 

 

Условие равноустойчивости

 

 

 

J x J y ;

 

 

 

 

 

подставляя числовые значения, получаем

 

 

 

608 2 31,2 c12 13,3 ,

 

 

 

откуда c1 4,51см;

 

 

 

 

с 2 с1 z0 2 45,1 15,4 59,4 мм.

 

 

 

Определяем допускаемую нагрузку:

 

 

 

P c A

 

 

 

 

Гибкость стойки

 

 

 

 

 

l

0,5 700

73,2,

 

 

 

 

imin

4,78

 

 

0,81 0,75

 

где imin ix

i 4,78 см (по ГОСТ 8240-72);

0,81

3,2 0,79

 

 

 

 

 

10

 

(интерполируя данные таблицы 8.1).

 

 

 

A 2A 2 13,3 26,6 см2 ;

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

P 0,79 160 106

26 610 4 337 103 H 337 кН .

 

 

Определяем коэффициент запаса устойчивости, который соответствует таблице для данных материала и гибкости:

ny PPкр .

Так как гибкость стойки меньше предельной (для стали Ст3 пред 100), то Ркр определяем по эмпирическому соотношению

Ркр А а b 26,6 10 4 310 1,14 73,2 106 603 103 H 603 кН ;ny PPкр 337603 1,79 .

8.2. Контрольные вопросы

1.В чем заключается явление потери устойчивости сжатого стержня?

2.Что называется критической силой и критическим напряжением?

3.Какое дифференциальное уравнение из теории изгиба лежит в основе вывода формулы Эйлера?

4.Что называется гибкостью стержня?

5.Какой вид имеет формула Эйлера, определяющая величину критической силы? Выведите эту формулу.

223

6.Как влияют жесткость EJ поперечного сечения и длина l стержня на величину критической силы?

7.Какой момент инерции обычно входит в формулу Эйлера? Возможны ли здесь исключения?

8.Что представляет собой коэффициент приведения длины и чему он равен при различных условиях закрепления концов сжатых стержней?

9.Как устанавливается предел применимости формулы Эйлера?

10.Что называется предельной гибкостью? Выведите выражение, определяющее предельную гибкость.

11.Какой вид имеет формула Ясинского для определения критических напряжений и при каких гибкостях она применяется для стержней из стали Ст3?

12.Как определяется критическая сила по Ясинскому?

8.Какой вид имеет график зависимости критических напряжений от гибкости для стальных стержней?

14.Если сжатый стержень ошибочно рассчитан по формуле Эйлера в области

еенеприменимости, опасна ли эта ошибка или она приведет к перерасходу материала на изготовление стержня?

15.Какой вид имеет условие устойчивости сжатого стержня? Какая площадь поперечного сечения стержня подставляется в это условие?

16.Что представляет собой коэффициент , как определяется его значение?

Как производится проверка стержней на устойчивость с его помощью? 17. Как подбирается сечение стержня при расчете на устойчивость?

224

9.РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН С МАЛЫМ ШАГОМ ВИТКА

Цилиндрические винтовые пружины широко применяются в технике, например в устройствах подрессоривания железнодорожных вагонов, в клапанах, в механизмах возвратно-поступательного движения машин и приборов

ит.д. В этих устройствах пружина используется в качестве двигателя обратного хода. Различают пружины «растяжения» и пружины «сжатия» (рис. 9.1 а

иб).

 

P

Ось навивки

 

P

 

 

 

 

 

пружины

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

а)

 

б)

Рис. 9.1. Вид цилиндрических винтовых пружин а – растяжения; б – сжатия

Основные параметры пружин: d и D - диаметр поперечного сечения стержня пружины и средний диаметр ее навивки; s - шаг навивки; n - число витков пружины.

Точный расчет пружины на прочность и жесткость достаточно сложен, так как проволока винтовой пружины может испытывать в общем случае одновременно кручение, сдвиг и изгиб.

Ниже будут приведены краткие расчетно-справочные данные и примеры расчета цилиндрических винтовых пружин с малым углом подъема вит-

ков – в пружинах рассматриваемого типа он не превышает 10...120 . Вследствие малости шага витков будем считать, что плоскости отдельных витков пружины перпендикулярны к оси пружины.

Если рассечь такую пружину плоскостью, проходящей через ее ось, и рассмотреть равновесие оставленной части (рис. 9.2), то получим, что в сечении возникают два внутренних силовых фактора: крутящий момент

M z

Р

D

и поперечная сила Qy Р (величинами изгибающего момента

 

 

2

 

Мх

и продольной силы N пренебрегаем).

Принимают, что касательные напряжения от кручения распределены по поперечному сечению так же, как и в прямом брусе при кручении (рис. 9.3

225

а), т.е. достигают наибольшего значения в точке контура сечения, ближайшей к продольной оси пружины (точка А):

max

M z

8РD.

 

 

(9.1)

M z

W

d 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

Qy

 

 

 

 

 

 

 

х

 

А

 

 

d

 

 

 

Мк

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

Рис. 9.2. Внутренние усилия в поперечном сечении витка пружины

Mz

Qy

 

 

 

Mmaxz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

d

а) б)

Рис. 9.3. Распределение напряжений в поперечном сечении витка пружины: а – от крутящего момента, б – от поперечной силы

Касательные напряжения от поперечной силы Qy

Qy

 

Р

 

Р

(9.2)

 

 

A

 

d 2

 

 

 

 

 

4

 

принимают распределенными по сечению равномерно (рис. 9.3 б) .

Из эпюр напряжений M z

и Qy

(рис. 9.3 а,б) видно, что опасными

точками являются приповерхностные внутренние точки (рис. 9.2), для которых напряжения складываются арифметически

226

 

 

 

max

 

 

 

8РD

 

 

8РD

 

d

 

(9.3)

max

M z

Qy

d 3

d 2

d 3

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2D

 

 

Обычно вторым слагаемым в скобках пренебрегают, но вводят поправочный коэффициент k , учитывающий влияние кривизны витков и поперечной силы. Окончательно формула для расчета пружины на прочность имеет вид

max k

8РD

.

(9.4)

 

d 3

 

 

Пружины изготовляют из стали с высокими механическими характеристиками, поэтому допускаемое напряжение принимают весьма высоким:200...800 МПа. Для пружин, испытывающих динамические и перемен-

ные напряжения, допускаемые напряжения снижают на 20...60% . Коэффициент k может быть определен в зависимости от индекса пру-

жины сп Dd по табл. 9.1.

Таблица 9.1.

Таблица поправочного коэффициента k при расчете пружин

сп

4

5

6

7

8

9

10

 

 

 

 

 

 

 

 

k

1,42

1,31

1,25

1,21

1,18

1,16

1,14

 

 

 

 

 

 

 

 

Изменение высоты пружины под действием приложенной нагрузки (для пружин сжатия – осадка) определяется по формуле

 

8FD

3n

.

(9.5)

Gd 4

 

 

 

Экспериментально показано, что реальная осадка пружин несколько больше, чем определенная по формуле (9.5), так как в ней была учтена лишь потенциальная энергия кручения стержня.

Кроме рассмотренных цилиндрических пружин постоянного сечения с малым углом наклона витков существует много других конструкций витых пружин: конические, призматические, фасонные (параболические, двойные конические, бочкообразные и др.). При этом шаг пружины может быть как постоянным, так и переменным, а сечение витка не только круглой, но и пря-

227

молинейной формы. Методы расчета таких пружин достаточно сложны и рассматриваются в специальной литературе.

Задача 1.

Цилиндрическая пружина сжатия изготовлена из проволоки диаметром d 20 мм, имеет число витков n 9 , средний диаметр пружины

D 12 см. Пружина нагружена силой Р 10 кН . Определить осадку пружины и максимальные касательные напряжения max . Принять модуль сдвига

материала G 8,5 104 МПа.

Осадку пружины под действием приложенной нагрузки определим по формуле

 

8РD3n

 

8 10 0,12

3 9

0,091 м.

Gd 4

8,5 107

0,024

 

 

 

Учитывая, что сп D

 

0

,12

6 , по табл. 9.1 определим поправочный

 

 

 

d

 

0

,02

 

коэффициент k 1,25 .

Тогда максимальные касательные напряжения определятся по форму-

ле

max k

8РD

1,25

8 10 0,12

477707 кПа 477,7 МПа.

 

d 3

 

3,14 0,023

 

Задача 2.

Выполнить проектный расчет цилиндрической пружины сжатия – определить диаметр пружины D , диаметр проволоки d и число витков n . Пружина изготавливается из проволоки круглого сечения. Зависимость осадки пружины от нагрузки (характеристика пружины) приведена на рис. 9.4. При-

нять G 8 104 МПа, 230 МПа, индекс пружины сп 5 .

228

P, Н

2000

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40 , мм

Рис. 9.4. Характеристика пружины

По характеристике пружины (рис. 9.4) определяем значение максимальной силы Fmax 2000 Н 2 кН .

Учитывая, что сп Dd 5 , по табл. 9.1 определим поправочный коэф-

фициент k 1,31.

Тогда условие прочности (9.4) примет вид

max 1,31 8 2 35d 230 103 .

d

Откуда

d 1,31

8 2 5

12 10 3

м 12 мм.

3,14

230 103

 

 

При диаметре проволоки d 12 ммс использованием заданного индекса пружины сп 5 найдем диаметр пружины

D сп d 5 12 60 мм.

При нагрузке, равной 2 кН , пружина должна иметь осадку 40 мм. Исходя из этого, определим число витков

n

Gd 4

0,04 8 107 0,0124

19 .

 

8F D3

8 2 0,063

 

 

max

 

 

Определенное число витков является рабочим, т.к. оно не включает крайние витки, соприкасающиеся с опорными поверхностями.

229