Скачиваний:
159
Добавлен:
22.01.2014
Размер:
7.32 Mб
Скачать

3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1.9. брус, изображенный на рис. 4.10, имеет в направлении, перпендикулярном чертежу, постоянную толщину b. Брус растягивается двумя силами P, как это показано на рисунке. Определить нормальные напряжения в точках A, B, C, D сечений 1-1 и 11-11. Установить опасное сечение.

Ответ: A 0; B 2P /(3ab); C D P /(2ab).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Опасным является сечение 1-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a

 

 

 

 

 

 

 

A

 

I

 

 

 

C

 

II

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B I

 

 

 

D II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.10. К задаче 1.9.

Задача 2.9. Определить нормальные напряжения в точках A, B, C, D прямоугольного поперечного сечения стойки, изображенной на рис. 4.11. Сила P 20кН действует вдоль ребра стойки.

Ответ: A 13,89МПа; C 19,45МПа; B D 2,7МПа.

P=20 кН

P=30 кН

 

D

6

с

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8,5 см

A B

 

м

 

 

 

с

 

 

 

2

 

 

 

1

2,17

см

6 см

 

 

 

 

y

x

 

0

с

м

3

 

 

 

 

 

 

C

Рис. 4.11. К задаче 2.9.

Рис. 4.12. К задаче 3.9.

109

Задача 3.9. на стойку из швеллера действует вертикальная сила P 30кН , приложенная у внешней грани стенки на расстоянии 6 см от наружного края полки (рис. 4.12). Определить нормальные напряжения в точке С поперечного

сечения

стойки

от

действия

силы

P.

Дано:

F 43,9см2 ; Jz 6048см4 ; Jy 259,5см4 ; z0

2,17см.

 

 

 

Ответ: C 15,6МПа.

Задача 4.9. Построить ядро сечения для швеллера, рассмотренного в примере 3.9.

Ответ: ядро сечения показано на рисунке.

y

 

см

Ядро

9,18

сечения

 

 

9,18 см

0,94 см

 

 

2,72 см

z

Рис. 4.13. К задаче 4.9.

110

ВЫВОДЫ

111

ЗАДАЧИ, ВХОДЯЩИЕ В КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

ЗАДАЧА №1

Для бетонной колонны. Сжатой силой F, приложенной в заданной точке верхнего сечения, требуется:

1.Выбрать исходные оси и определить моменты инерции сечения относительно этих осей.

2.Определить положение центра тяжести и провести главные центральные поперечного сечения.

3.Вычислить главные центральные моменты инерции и радиусы инерции поперечного сечения.

4.Построить ядро сечения.

5.Построить нейтральную ось и определить координаты опасных точек сечения.

6.Определить нормальные напряжения в характерных точках верхнего сечения колонны в долях силы P.

7.Построить в аксонометрии эпюру нормальных напряжений для верхнего сечения колонны.

8.Подобрать допускаемую величину силы P с учетом собственного веса колонны.

Форма поперечного сечения колонны и точка приложения силы (рис. 4.14), а также необходимые для расчета данные по табл. 4.1 указываются преподавателем.

Оформление работы проводится на листах формата А4 в соответствии с требованиями ЕСКЛ. На титульном листе указывается название работы, фамилия и инициалы студента, индекс группы, факультет, фамилия и инициалы преподавателя. На первом листе приводится текст задания, схемы сечений и исходные численные данные.

Все расчеты выполняются на втором и последующих листах. Для каждой задачи в масштабе вычерчивается схема сечения, указываются все необходимые размеры сечений и его составных элементов, центральные оси, а также приводятся необходимые формулы с пояснениями, все численные подстановки и результаты вычислений.

112

Исходные данные к работе

 

 

 

 

 

 

Таблица 4.1

 

 

 

 

 

 

 

Номер

Размер а,

Высота h,

Расчетные сопротивления,

Объемный

 

 

МПа

вес ,

 

варианта

м

м

 

 

СЖ

 

Р

кН/ м3

 

 

 

 

 

 

2

0,45

3,5

4,0

 

0,6

17

 

3

0,3

3,0

5,5

 

0,7

18

 

4

0,35

2,8

6,0

 

0,8

19

 

5

0,5

3,2

10

 

1,0

20

 

6

0,55

5,0

14

 

1,3

16

 

7

0,6

4,5

35,0

 

2,5

20

 

8

0,65

4,7

45,0

 

2,6

19

 

9

0,7

5,7

20,0

 

1,6

17

 

10

0,75

6,0

21,5

 

1,8

19

 

11

0,8

6,5

20,0

 

2,1

19

 

12

0,85

5,0

44,0

 

2,6

18

 

13

0,9

7,0

18,0

 

1,6

17

 

14

0,95

4,0

42,0

 

2,5

19

 

15

1,0

4,5

44,0

 

2,6

18

 

16

0,4

4,0

3,5

 

0,5

16

 

17

0,45

4,5

5,0

 

0,6

17

 

18

0,5

5,0

14,0

 

1,3

16

 

19

0,55

6,0

21,5

 

1,8

18

 

20

0,6

6,5

35,0

 

2,5

20

 

21

0,65

7,0

5,0

 

0,6

17

 

22

0,7

4,5

18,0

 

1,6

17

 

23

0,75

6,0

7,5

 

0,8

18

 

24

0,8

6,5

44,0

 

2,6

18

 

113

1 a/2

1

a

2

a 3

a

a

a/4

4

a

a

a

 

a/2

 

 

 

2

1

a/2

 

3

a/2

 

 

 

a/2

 

 

7

 

 

 

1

 

 

a/2

 

 

 

a/2

2a

 

5a/4

 

 

 

2

3

a/4

 

 

 

3a/4

2a

3a/4

 

10

a/2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

a

a/2

3

 

 

 

 

a/2

2a

a/2

 

13

a/2

 

1

 

 

3a/4

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2a

 

 

 

 

a/4

 

 

a/4a/4 3a/2

a/4

 

16

 

 

 

2

 

a/2

 

 

 

3

 

3a/4

 

 

 

1

 

 

 

a

 

 

 

 

3

 

a

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

a/4

 

 

 

 

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a/4

 

3

2

 

a/2

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

a/2

a

3a

2a/3

 

a

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

a

a/2 a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2 a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

a/2

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/4

 

 

 

a

 

2

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2

2a

 

a/2

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

2a

 

a

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2

 

1

 

 

2

a/2

 

2

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2

3

a

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2

 

 

 

 

 

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a/2

3a

 

a/2

 

 

 

 

 

 

 

11

 

a

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

a/2

 

2

 

 

 

a/4

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

a/4

2

 

 

 

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

a/2

 

15

 

 

3a/4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

2 a/4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

5a/4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3a/4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2

 

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

18

 

 

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2 a/2

2a

a/2 a/2

 

 

3a/4

 

 

 

 

1

 

 

2

a/2

1

 

 

 

a/2

 

 

 

 

 

 

3a/4

 

 

 

a/2

 

 

 

a

 

 

a/2

 

 

 

 

 

3a/4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3a

 

 

 

 

114

 

 

 

19

 

 

 

20

a/4 3a/2

a/4

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a/4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

a/2

 

 

 

a/2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5a/4

3a/4

 

 

a/2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a/4

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

a

 

 

 

a

 

 

 

a/2

a

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

a/2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

a

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a/2

 

 

 

 

a

2

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a/4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

3a/2

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3a/4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a/4

 

3a/4

 

 

 

25

 

a/2

 

26

 

 

27

a/4

 

a/4

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a/2

2

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2

a/2

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

a/2

a/2

a/2

 

 

29

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a/2 a/2

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

a/4

 

 

 

a

 

a

a

 

 

 

 

3a/4

 

 

 

 

3a/4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

a/2

 

3a/2

a

 

a/2

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5a/4

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3a

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

a/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.14. Поперечное сечение колонн

 

 

 

 

115

Методические указания к решению задачи №1

Рассмотрен массивный брус постоянного поперечного сечения, растянутый двумя силами P, параллельными его оси и пересекающими любое поперечное сечение в точке M с положительными координатами x0 и y0

относительно главных центральных осей x, y сечения (рис. 4.1). Очевидно, что величины внутренних сил во всех поперечных сечениях бруса одинаковы.

Нормальные напряжения в произвольной точке с координатами x, y равны

 

P x x

 

y y

 

 

(4.15)

 

0

 

 

0

1

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

F

ty

 

 

tx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J y

 

где tx

 

 

J

x

,iy

- главные радиусы инерции сечения;

 

 

 

 

F

 

 

 

 

F

 

 

 

F – площадь поперечного сечения бруса;

Jx , J y - главные центральные моменты инерции поперечного сечения;

x, y – координаты точки поперечного сечения, в которой вычисляются напряжения.

В формулу (4.15) величина растягивающей силы P подставляется со знаком плюс, а сжимающей – со знаком минус; координаты x0 , y0 , x, y в эту

формулу подставляются со своими знаками.

Если вычислить нормальные напряжения во всех точках сечения и отложить их в виде векторов, то концы векторов образуют плоскость, которая называется поверхностью напряжений [3, 4]. Поверхность напряжений пересекает плоскость поперечного сечения по прямой, точки которой свободны от напряжений. Эту прямую называют нулевой линией или нейтральной осью.

Уравнение нулевой линии получим, приняв в выражении (4.15) равным нулю:

x0 x

y0 y

1 0

t2

t2

 

y

x

 

Это уравнение прямой, не проходящей через начало координат. Очевидно, что нейтральная линия не проходит через центр тяжести

поперечного сечения. Для ее построения необходимо знать величину отрезков, которые она отсекает на осях координат. Их величина определяется по формулам:

a

ty2

,b

t2

или x

ty2

, y

 

 

t2

(4.16)

 

x

 

0

x ,

 

x0

 

y0

0

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

где a и b – отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат x, y.

116

Из зависимостей (4.16) следует, что нейтральная линия пересекает координатные оси в точках, принадлежащих квадрату, противоположному тому, в котором находится точка M.

Теперь, проведя параллельно нейтральной оси линии касательные к контуру сечения, найдем наиболее напряженные точки 1 и 2 в растянутой и сжатой зонах сечения (рис.4.1.). Напряжения в этих точках и условия прочности имеют вид:

макс

1

 

P

 

x

x1

y

 

y1

 

 

 

 

1

0

 

0

 

р

;

 

 

 

 

 

2

 

ix

2

 

 

 

 

 

 

 

F

 

iy

 

 

 

 

 

 

 

мин

2

 

P

 

x

x2

y

 

 

 

 

 

1

0

i

0

y2

 

 

 

 

F

 

i 2

 

2

 

 

 

сж.

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

Здесь x1,y1 и x2,y2 - координаты точек 1 и 2 соответственно. Эпюра напряжений σ приведена на рис.4.1.

Координаты точек определяются по чертежу с учетом их знаков, а величина сжимающей силы подставляется в формулы со знаком минус.

Оказывается, что для каждого поперечного сечения можно построить в его плоскости некоторый замкнутый контур, обладающий тем свойством, что при нахождении точки приложения продольной силы внутри или на границе этого контура в сечении возникают напряжения одного знака. Часть плоскости сечения, ограниченная этим контуром, носит название ядра сечения. При выходе сжимающей силы из ядра в сечении появляются растягивающие напряжения.

Для построения ядра сечения поступим следующим образом. Будем задавать положение нулевой линии так, чтобы она касалась сечения, нигде не пересекая его, и находить соответствующий полюс или точку приложения силы. При этом напряжения в сечении будут одного знака (рис.4.3.). Проведя семейство касательных к сечению, мы получаем множество соответствующих им полюсов, геометрическое место которых дает очертание (контур) ядра сечения.

Если сечение имеет многоугольное очертание, то ядро сечения будет также многоугольником.

растянутой и сжатой зонах сечения (рис.4.1.). Напряжения в этих точках и условия прочности имеют вид:

макс

1

 

P

 

x

x1

y

 

y1

 

 

 

 

1

0

 

0

 

р

;

 

 

 

 

 

2

 

ix

2

 

 

 

 

 

 

 

F

 

iy

 

 

 

 

 

 

 

мин

2

 

P

 

x

x2

y

 

 

 

 

 

1

0

i

0

y2

 

 

 

 

F

 

i 2

 

2

 

 

 

сж.

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

117

Здесь x1,y1 и x2,y2 - координаты точек 1 и 2 соответственно. Эпюра напряжений σ приведена на рис.4.1.

Координаты точек определяются по чертежу с учетом их знаков, а величина сжимающей силы подставляется в формулы со знаком минус.

Оказывается, что для каждого поперечного сечения можно построить в его плоскости некоторый замкнутый контур, обладающий тем свойством, что при нахождении точки приложения продольной силы внутри или на границе этого контура в сечении возникают напряжения одного знака. Часть плоскости сечения, ограниченная этим контуром, носит название ядра сечения. При выходе сжимающей силы из ядра в сечении появляются растягивающие напряжения.

Для построения ядра сечения поступим следующим образом. Будем задавать положение нулевой линии так, чтобы она касалась сечения, нигде не пересекая его, и находить соответствующий полюс или точку приложения силы. При этом напряжения в сечении будут одного знака (рис.4.3.). Проведя семейство касательных к сечению, мы получаем множество соответствующих им полюсов, геометрическое место которых дает очертание (контур) ядра сечения.

Если сечение имеет многоугольное очертание, то ядро сечения будет также многоугольником.

Пример решения задачи

Для бетонной колонны, сжатой силой P, приложенной в точке 4 верхнего сечения колонны (рис. 4.15), требуется:

a

2

4

1

a

2

a

a 3 a

4

a

Рис. 4.15. Поперечное сечение колонны

-выбрать исходные оси и определить моменты инерции сечения относительно этих осей;

-определить положение центра тяжести и провести главные центральные оси;

-вычислить главные центральные моменты инерции и радиусы инерции поперечного сечения;

118