Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основные задачи 2-го семестра

5.2. Объемное напряженное состояние

5.2.1. Определение напряжений на наклонных площадках. Главные площадки. Главные напряжения.

Покажем, что задание шести компонентов тензора напряжений определяет полностью напряжённое состояние в точке, т.е. величину вектора напряжений на любой площадке.

Действие отброшенных частей заменим силовыми факторами. Полное напряжение, действующее на наклонной грани обозначим через Р , а его проекции на

координатные оси Px ; Py ; Pz .

Площади элементарных граней обозначим: dAx ;dAy ;dAz ;dA .

Проекции полного напряжения, действующего на наклонной грани с внешней нормалью и направляющими косинусами l, m, n определяются соотношениями

Полное напряжение можно определить:

Проецируя вектор полного напряжения на нормаль и ось t , лежащую в плоскости площадки получаем формулы для нормальных и касательных

напряжений, действующих на этой площадке

129

При изменении ориентации площадки напряжения на ней будут изменяться.

Пример 5.2. На наклонной площадке элемента, рассмотренного в примере 5.1, нормаль к которой составляет с осями X и Y соответственно углы

1 60 , и 2 40 , определить величины полного напряжения P и его проекций на координатные оси Px , Py , Pz , а также величины нормального и касательного напряжений.

Решение

1. Определяем величины направляющих косинусов

l cos x, cos60 0,5; m cos y, cos 40 0,766; n 1 l2 m2 1 0,52 0,7662 0,404

2. Определяем величины полного напряжения P и его проекций на координатные оси Px , Py , Pz

ний.

xxl2 yy m2 zz n2 2 yxlm 2 zy mn 2 zx nl

60,0 0,52 12,0 0,7662 10,0 0,4042 2 9,0 0,766 0,404 2 9 0,5 0,404

8,261

(P2x P2y P2z ) (Pxl Py m Pz n)2

P2 2 26,992 8,261 2 25,69 МПа.

Каково бы ни было напряженное состояние в рассматриваемой точке, всегда существуют три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения имеют стационарные значения (максимум, минимум, минимакс).

Эти площадки называются главными. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями.

Исходя из определения, найдем главные напряжения и положения главных площадок.

Главные напряжения являются корнями кубического уравнения

130

В силу симметрии элементов определителя относительно его главной диагонали решение этого уравнения дает три действительных корня, представляющих собой три главных напряжения.

Главные напряжения впредь будем обозначать: 1; 2 ; 3 ; при этом по-

лагают, что между указанными напряжениями существует следующее соотношение (в алгебраическом смысле) 1 2 3 .

Вокруг рассматриваемой точки M (рис. 5.1), можно вырезать бесчисленное множество бесконечно малых элементов (параллелепипед), грани которых будут различно ориентированы по отношению к осям координат. При изменении ориентации граней параллелепипеда компоненты тензора напряжений будут меняться. Но независимо от способа вырезания элемента вокруг данной точки подстановка значений компонент напряжения в уравнение (5.8) должна дать одни и те же значения главных напряжений, т. к. последние определяются характером напряженного состояния. Коэффициенты уравнения (5.8) называются инвариантами напряженного состояния.

Перепишем уравнения (5.8) в виде

где J1, J2 , J3 - первый, второй, третий инварианты напряженного состояния или инварианты тензора напряжений.

xz ; yz ; zz

Втеории напряжений, а так же в теории деформации инварианты являются основными характеристиками напряженного и деформированного состояния в точке. Компоненты тензора напряжений как величины, связанные с осями координат, считаются вспомогательными.

Внекоторых случаях инварианты тензора напряжений могут принимать нулевые значения.

131

1. J3 0 . Один из корней уравнения (5.9) так же равен нулю. Имеет место плоское напряженное состояние (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Расчетная схема плоского напряженного состояния

2. J2 J3 0 два корня уравнения (5.9) равны 0. В этом случае имеет место линейное напряженное состояние (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Расчетная схема одноосного напряженного состояния

3. J 1 0, J 2 0, J 3 0.Объемное напряженное состояние (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Расчетная схема объемного напряженного состояния

Положение главных площадок определяется направляющими косинусами li , mi , ni i 1,2,3 , которые ориентируют главные направления напряже-

ний:

Здесь i - номер главной площадки.

132

Пример 5.3. Определить величину и направление главных напряжений в точке М в окрестности которой действуют следующие координатные напряже-

60,0 12,0 10,0 60,0 9,0 2 12,0 9,02 3312 МПа.

2.Решая кубическое уравнение (5.9) относительно главных напря-

3 61,156МПа.

Производим проверку правильности, полученного решения уравнения, инвариантному по отношению к преобразованию координат.

J1 xx yy zz 1 2 3 20,517 2,64 61,156 38,0 МПа;

J2 xx yy yy zz zz xx xy 2 yz 2 zx 2 1 2 2 3 3 1

20,517 2,64 2,64 61,156 61,156 20,517 1362,0 МПа;

J3 xx yy zz xx yz2 yy xz2 zz yx2 2 xy yz zx

20,517 2,64 61,156 3312,0 МПа.

3. Определяем по формулам 5.12 величину направляющих косинусов

133

Формулы для напряжений на произвольной площадке существенно упрощаются, если в качестве исходного выбрать элементарный параллелепипед, на гранях которого действуют только главные напряжения. Совместим координатные оси X ,Y, Z с главными направлениями 1,2,3 (рис. 5.8) и определим напряжения на наклонной площадке, нормаль к которой составляет с координатными осями углы 1 , 2 , 3 (рис. 5.9). Тогда направляющие косинусы будут

равны: l cos 1; m cos 2 ; n cos 2 .

Проекции полного напряжения на наклонной площадке получим из формулы 5.4.

Тогда полное напряжение будет равно

134

Нормальные и касательные напряжения определяем соответственно из формул 5.6, 5.7

5.2.2. Графический анализ напряженного состояния в точке. Круги Мора. Максимальные касательные напряжения.

Напряжения на наклонных площадках можно определить графически (с помощью кругов Мора). Пусть известны главные напряжения на гранях параллелепипеда и положение наклонных площадок. Рассмотрим поочередно наклонные площадки параллельные одному из главных напряжений. Так, пло-

плоскость и отнесем ее к прямоугольным координатным осям и . Отклады-

Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках параллельных напряжению 2 . Аналогичным

135

образом рассматриваем два других семейства площадок параллельных соответ-

напряженное состояние всех сечений, проведенных в элементе параллельно соответственно напряжениям 1 , 2 и 3 .

Напряженное состояние на площадках, пересекающих все три главные напряжения, изображаются точками D , попадающими в заштрихованную об-

ласть рис. 5.11.

Рис. 5.11. Графическое изображение напряженного состояния в точке

максимальное касательное напряжение max действует на площадке параллель-

136

Рис. 5.12. Схема к определению максимального касательного напряжения

На двух других семействах площадок параллельных соответственно главным напряжениям 1 и 3 будут определяться по формулам

Если площадка проходит через две главные оси, то она совпадает с третьей главной площадкой, таким образом, на этой площадке касательное напряжение отсутствуют, а нормальное напряжение является главным. Точками, соответствующими главным площадкам на рис. 5.11 являются А, В, С.

Используя круги Мора, и зная ориентацию площадки по отношению к главным осям, можно найти составляющие и полного напряжения, дейст-

вующего на этой площадке. Для этого вычисляются радиусы окружностей r1 , r2 , r3 с центрами соответственно в точках O1 , O2 , O3

вующих на площадках, проходящих через рассматриваемую точку напряженно-

диусом r2 ), с осью Z - 3 ar cosn (окружность радиусом r3 ).

Для задания ориентации площадки необходимы значения двух направляющих косинусов. Значение третьего определяется из соотношения 5.3. По заданным значениям главных напряжений 1 , 2 и 3 в масштабе строятся круги

Мора и вычисляются два любых радиуса ri по формулам 5.21. Далее из центров соответствующих окружностей Oi проводятся радиусами ri дуги окружностей

(рис. 5.13).

137

Точка пересечения этих дуг характеризует напряженное состояние ( и) на площадке, нормаль к которой составляет углы 1 , 2 , 3 с координатными осями.

D D

r2

r3

Рис. 5.13. Схема к определению напряженного состояния на наклонной площадке

Пример 5.4. Произвести графическое определение напряженного состояния в точке, если известны главные напряжения на гранях параллелепипе-

ния, действующего на площадке нормаль к которой составляет с координатными осями углы 1 60 , 2 70 . Определить величину максимального касательного напряжения max .

Решение

1.В масштабе по заданным значениям главных напряжений строим круги Мора (рис. 5.14).

2.По формулам 5.21 определяем величину радиусов окружностей r1 и

r2

138