Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основные задачи 2-го семестра

Формула (8.8) дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. Определим теперь значение критической силы при других видах закрепления концов стержня.

Для стержня с обоими заделанными концами возможная форма изгиба при потере устойчивости показана на рис. 8.5.

210

Она симметрична относительно середины стержня; точки перегиба изогнутой оси расположены в четвертях длины стержня.

Из сопоставления рис. 8.5 и рис. 8.4 видно, что каждая четверть длины стержня, заделанного обоими концами, находится в таких же условиях, в каких находится весь стержень, изображенный на рис. 8.4.

Следовательно, значение критической силы для стержня с обоими заделанными концами можно найти, если подставить в формулу

Таким образом, критическая сила для стержня с шарнирно закрепленными концами в четыре раза больше, чем для стержня с одним защемленным, а другим свободным концом, и в четыре раза меньше, чем для стержня с обоими защемленными концами. Случай шарнирного закрепления концов стержня принято называть основным.

Формулы Эйлера (8.8), (8.9) и (8.10) для определения критической силы при различных закреплениях концов стержня можно представить в следующем общем виде:

длина стержня.

Коэффициент позволяет любой случай закрепления концов стержня свести к

основному случаю, т.е. к стержню с шарнирно закрепленными концами. Для четырех наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня

223

Из формулы (8.11) следует, что значение критической силы прямо пропорционально жесткости EJ поперечного сечения стержня при изгибе и обратно пропорционально квадрату длины стержня.

При потере устойчивости искривление (выпучивание) стержня происходит, как правило, в плоскости, перпендикулярной главной оси минимум поперечного сечения, т.е. при изгибе сечения поворачиваются вокруг этой оси. Поэтому критическую силу следует вычислять по значению главного центрального момента инерции J min . Исключения могут быть лишь в случаях, когда условия

закрепления концов стержня в разных плоскостях, проходящих через его ось, различны.

По значению критической силы можно определить вызванное ею критическое сжимающее напряжение кр , т.е. то напряжение, при котором прямолинейная

форма равновесия стержня становится неустойчивой:

инерции i поперечного сечения стержня, называется гибкостью стержня. Так как потеря устойчивости, как правило, происходит в плоскости наименьшей жесткости, то в выражение гибкости обычно входит минимальный радиус инерции imin поперечного сечения.

8.3. Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности

Формулы, выведенные ранее, справедливы только тогда, когда напряжениякр в материале, вызванные критической силой, не превышают предела

пропорциональности, т.е. когда кр пц . Это следует из того, что в основу

вывода формул положено дифференциальное уравнение упругой линии, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука.

Подставляем в условие кр пц значение кр по формуле (8.13):

кр 22E пц.

212

Из этого уравнения

Правая часть выражения (8.14) представляет собой то наименьшее значение гибкости стержня, при котором формула Эйлера еще применима,— это так называемая предельная гибкость пред.

Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня — его модуля упругости и предела пропорциональности.

Условие (8.14) применимости формул Эйлера с учетом выражения (8.15) можно представить в виде

Итак, формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня применима при условии, что его гибкость больше предельной.

Приведем значение пред для различных материалов.

значением пц предельная гибкость уменьшается по выражению (8.15). В частности, для некоторых марок легированной стали пред 60 70.

Действительные критические силы и критические напряжения для стержней, гибкость которых ниже предельной, значительно меньше величин, определяемых по формуле Эйлера. Для таких стержней критические напряжения определяются по эмпирическим формулам.

Профессор Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинский предложил эмпирическую формулу критических напряжений для стержней, имеющих гибкость , меньшую предельной:

где а и b — определяемые экспериментально коэффициенты, зависящие от свойств материала. Например, для стали Ст.З

a 310 МПа; b 1,14 МПа.

Формула (8.17) применима для стержней из малоуглеродистой стали при гибкости 60 100. При гибкости 0 60 напряжение кр считается

примерно постоянным и равным пределу текучести.

223

На рис. 8.6. приведен график, изображающий зависимость кр от гибкости стержня для стали Ст З. На участке 0 60 напряжение кр имеет постоянное

Рис. 8.6. Зависимость критических напряжений от гибкости для Ст 3

Умножая величину критического напряжения на площадь поперечного сечения стержня Абрутто, можно определить критическую силу. Здесь

Абрутто — площадь брутто поперечного сечения стержня, т.е. без учета его ослаблении.

8.4. Практические расчеты на устойчивость

Для сжатых стержней кроме условия прочности должно быть удовлетворено также условие устойчивости, которое можно выразить неравенством

где у - допускаемое напряжение при расчете на устойчивость.

Ослабление сечений стержня заклепками или болтами в металлических конструкциях, врубками — в деревянных происходит не по всей его длине, а лишь на отдельных небольших участках. Сопротивление же стержня выпучиванию зависит от жесткости стержня на всем его протяжении. Поэтому местные ослабления практически не влияют на величину критической силы.

Допускаемое напряжение у при расчетах на устойчивость назначается с запасом против критического напряжения, т.е. выражается формулой

214

где ny — нормативный (или требуемый) коэффициент запаса устойчивости,

значения которого принимаются различными для различных материалов и зависят от гибкости стержня.

Коэффициент запаса устойчивости ny принимается более высоким, чем

коэффициент запаса прочности. Это вызывается рядом обстоятельств, практически не поддающихся учету (начальная кривизна стержня, нецентральное действие нагрузки и др.), которые уменьшают критическую нагрузку, но почти не влияют на прочность конструкции.

Выразим допускаемое напряжение у через допускаемое напряжение ,

где — коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней (коэффициент продольного изгиба).

Значения коэффициента приведены в таблице 8.1. Они зависят от материала

Кроме условия устойчивости сжатые стержни должны удовлетворять и

223

Подбор сечения сжатых стержней представляет собой более сложную задачу, чем растянутых стержней [2]. Это объясняется тем, что величина , входящая в

расчетную формулу, зависит от размеров и формы поперечного сечения и поэтому заранее не может быть назначена. Ввиду этого решение обычно проводится путем последовательных попыток.

Рассмотрим два вида расчета на устойчивость сжатых стержней - проверочный и проектировочный [3].

Проверочный расчет сжатых стержней. Порядок проверочного расчета на устойчивость при использовании таблицы коэффициентов следующий:

1) исходя из известных размеров и формы поперечного сечения, определяем наименьший осевой момент инерции Jmin , площадь А, вычисляем минимальный

радиус инерции

imin JminA

и гибкость

l ;

imin

2) по таблице находим коэффициент и вычисляем допускаемое напряжение

на устойчивость по формуле

у ;

216

Пример 8.1. Проверить на устойчивость сжатую деревянную колонну

По таблице 8.1 интерполяцией находим, что

0,48 0,48 0,38 0,6 0,474 . 10

Тогда

у 0,474 10,0 4,74 МПа;

имеются две неизвестные величины - коэффициент и искомая площадь A поперечного сечения. Поэтому при подборе сечений приходится пользоваться методом последовательных приближений, варьируя величину коэффициента . Обычно в первой попытке берут 1 0,5 0,6. Принимая какое-либо из этих значений 1, определяют требуемую площадь A и подбирают сечение. Подобранное сечение проверяют и устанавливают фактическое значение 1. Если

223

1 значительно отличается от 1, то напряжение отличается от допускаемого.

Тогда следует повторить расчет, т.е. сделать вторую попытку, приняв среднее по величине значение между 1 и 1:

2 1 1 .

2

В результате второй попытки устанавливают 2 . Если требуется третья попытка, то

2 2

3 2

и т.д. Обычно при подборе сечений требуется не более двух-трех попыток. Пример 8.2. Подобрать по сортаменту двутавровое поперечное сечение

стержня длиной 5 м, находящегося под действием центральной сжимающей нагрузки 320 кН. Оба конца стержня защемлены. Материал - Ст 3. Основное допускаемое напряжение 160 МПа.

Определяем расчетную длину стержня: lпр l 0,5 500 см 250 см.

Подбираем поперечное сечение путем последовательных приближений.

Первая попытка: принимаем 1=0,5; требуемая площадь поперечного сечения

минимальным радиусом инерции imin iy 2,54 см. Гибкость стержня

lпр 250 98,5. imin 2,54

По таблице 8.1 при линейной интерполяции

1 0,69 0,69 0,6 8,5 0,614 1 0,5. 10

Перейдем ко второму приближению, приняв 2 0,5 0,614 0,557 .

2

Необходимая площадь поперечного сечения стержня

минимальным радиусом инерции imin iy 2,63 см. Гибкость стержня

lпр 250 95. imin 2,63

По таблице 8.1 находим коэффициент 2 :

2 0,69 0,69 0,6 5 0,645 1 0,557 . 10

218

Переходим к третьему приближению, приняв

Перенапряжение составляет

164 160100% 2,5%.

160

Окончательно принимаем для стержня двутавр № 24.

Пример 8.3. Определить величину допускаемой нагрузки на деревянную

Решение. Площадь сечения стойки А 18 22 396 см2 (0,0396 м2 ). Наименьший момент инерции сечения стойки

Допустимая сила равна напряжению, умноженному на площадь сечения и на коэффициент , т.е.

P A 0,33 10 0,396 0,131 МН .

Пример 8.4. Определить допускаемую нагрузку на стойку двутаврового профиля № 30 а (сталь Ст. 3), защемленную в основании и шарнирно

223