Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основные задачи 2-го семестра

чем для двух сечений.

Для сечений имеющих две оси симметрии и точки одновременно наиболее удаленные от обеих главных осей (примеры таких сечений даны на рис. 1.6),

опасными являются те из угловых точек, в которых знаки напряжений Mx и M y

совпадают. Для бруса из пластичного материала опаснее та из них, в которой возникает максимальное напряжение растяжения (на рис. 1.4 точка L).

Условие прочности в данном случае имеет вид:

где Wx и Wy - осевые моменты сопротивления сечения изгибу поперечного бруса (на рис.1.4 точка L).

Пример 3.1.

Исходя из условия прочности подобрать прямоугольное сечение балки (h=2b), нагруженной внешними силами F1=6кН; F2=5кН. Принять =160МПа.

Решение.

Рис. 1.5.

а) Расчетная схема задачи;

69

б) расчетная схема в вертикальной плоскости; в) эпюры изгибающих моментов в вертикальной плоскости;

г) расчетная схема задачи в горизонтальной плоскости; д) эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости.

1) Строим расчетную схему балки, нагруженной силой F1=6кН в вертикальной плоскости и определяем из уравнения равновесия опорные реакции (рис.1.5,б)

A=0;

∙2-∙3=0;

===4кН;

B=0;

∙1-∙3=0;

===2кН.

2) Строим эпюру изгибающих моментов Mx в вертикальной плоскости

YOZ (рис. 1.5,в)

MA=0;

Mc=∙1=2∙1=2кН∙м; МD=∙2=2∙2=4кН∙м;

MB=ME=0.

3) Строим расчетную схему балки, нагруженной силой F2 в горизонтальной плоскости и определяем из уравнений равновесия опорные реакции (рис. 1.5,г)

A=0; F2∙4-∙3=0;

===кН;

B=0; F2∙1-∙3=0;

==кН.

4) Строим эпюру изгибающих моментов My в горизонтальной плоскости XOZ (рис. 1.5,д)

MA=0;

Mc=∙1=-кН∙м;

МD=∙2=-2=-кН∙м; MB=-F2 1=-5кН∙м.

5)Определяем максимальные нормальные напряжения для сечения D и

70

B балки по формулам:

, где

Из двух сечений D и B опасным является сечение D, так как в нем больше напряжение: .

6) Из условия прочности при косом изгибе находим размер поперечного сечения балки:

, откуда м, тогда h=2b=9,2см.

3.4. Нулевая линия и опасные точки.

Для того чтобы найти опасную точку поперечного сечения произвольной формы, следует в первую очередь определить положение нулевой (нейтральной) линии этого сечения. Уравнение нулевой линии получают из выражения (1.1), приравнивая нулю его правую часть,

Силовая и нулевая линии всегда проходят через противоположные квадраты поперечного сечения. Это указание позволяет определить, в какую сторону от оси Ox следует отложить угол , тангенс которого определяется выражением:

Наибольшие нормальные напряжения возникают в тех точках поперечного сечения, которые наиболее удалены от нулевой линии - это точки A и B (рис.

1.7).

Для бруса из хрупкого материала надо составить два условия прочности:

71

– допускаемое напряжение по растяжению;

- допускаемое напряжение по сжатию.

Для бруса из пластичного материала опасной является та точка поперечного сечения, в которой возникает наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение; для этой точки и записывается условие прочности.

Например, если брус из пластичного материала имеет поперечное сечение по рис. 1.6 и эпюра нормальных напряжений такова, как показано на этом рисунке, то условие прочности имеет вид:

3.5. Брус круглого сечения.

Для бруса круглого (сплошного или кольцевого) поперечного сечения, нагруженного силами и моментами, действующими в разных плоскостях, в каждом поперечном сечении нулевая линия перпендикулярна к силовой линии, что характерно для прямого изгиба.

Расчет на прочность ведут по результирующему изгибающему моменту

72

Рис. 1.8

так же как и при прямом изгибе

Определение прогибов при косом изгибе бруса круглого сечения, а так же при пространственном изгибе бруса круглого сечения производится на основе принципа независимости действия сил: определяют отдельные прогибы f x и f y

в каждой из главных плоскостей бруса, а затем путем их геометрического суммирования определяют полный прогиб

f f x2 f y2 . (1.9)

Пример 3.2.

Вычислить коэффициент запаса прочности для опасной точки бруса круглого поперечного сечения (рис. 1.9, α), если T 240 МПа.

Решение. Брус работает на пространственный изгиб. Расчетная схема бруса дана на рис. 1.9, б.

Строим эпюры изгибающих моментов Mx и M y (рис. 1.9, в, г). Опасным

является то поперечное сечение, в котором результирующий изгибающий момент M И достигает наибольшего значения.

73

Рис 1.9

Вычислим M И для сечений 1 – 1 и 2 – 2

(M И )1 1 (qa2 )2 (3,5qa2 )2 3,63qa2 ;

(M И )2 2 (3qa 2 )2 (2qa 2 )2 3,60qa 2 .

Опасным оказалось сечение 1 – 1. По формуле (1.8) определяем максимальное нормальное напряжение в этом сечении

Коэффициент запаса по отношению к пределу текучести

Пример 3.3.

Из расчета на прочность определить требуемые размеры поперечного сечения деревянного бруса, изображенного на рис. 1.10.

10 МПа.

Решение. Брус работает на пространственной косой изгиб.

Определив опорные реакции Ay и By в вертикальной плоскости иAx и Bx в горизонтальной плоскости, строим эпюры изгибающих моментов Mx и M y (рис.

1.10). В данном случае неясно, какое из поперечных сечений опасно, поэтому выполним расчет на прочность как для сечения посередине пролета (сечение 1 – 1), в котором Mx имеет наибольшее значение, так и для сечения 2 – 2,

расположенного бесконечно близко справа от места приложения момента m: в

74

этом сечении момент M y имеет наибольшее значение.

Рис. 1.10

Определим размеры поперечного сечения бруса из условия его прочности сечении 1 – 1. По формуле (1.2)

Отсюда

Аналогично для сечения 2 – 2

75

Опасным оказалось сечение 2 – 2; принимаем b = 86 мм.

Пример 3.4.

На стальной брус (рис. 1.11, α) прямоугольного поперечного сечения под углом приложена сила F. Определить величину силы F , если 160 МПа.

Размеры поперечного сечения бруса h=60 мм, b=30 мм. Длина бруса 300 мм. Решение. Брус работает на плоский косой изгиб. Разложив силу F на

составляющие по главным центральным осям (рис. 1.11, α), строим эпюры Mx и

M y (рис. 1.11, б).

Выразим напряжение в точке B через силу F

(F sin 30 )0,6 0,015 6,22 104 F 0,06 0,033

12

Рис 1.11

76

Пример 3.5.

Проверить прочность бруса (рис. 1.12, а) и определить величину прогиба его свободного конца, если 160 МПа, E 2,0 1011 Па.

Вычислить величины наибольших нормальных напряжений в поперечном сечении бруса и прогиба его свободного конца для случая, когда сила приложена

вертикально. Проверим брус на жёсткость, если .

Решение. Брус работает на плоский косой изгиб. Разложив силу F на составляющую Fx и Fy по главным осям х и у, вычислим изгибающие моменты

Mx и M y в опасном сечении (заделки)

Рис 1.12

Расчётная схема задачи (а), эпюры нормальных напряжений (б).

77

наибольшие растягивающие, а в точке B – наибольшие сжимающие напряжения. Так как материал балки работает одинаково на растяжение и сжатие, то

указанные точки равноопасны. Результирующее напряжение в точке A

max ( M x ) A ( M y ) A 53,1 83,9 137 МПа;

брус недогружен на 160 137 100% 14,4%

160

Как известно, для балки, жестко заделанной одним концом и нагруженной сосредоточенной силой на свободном конце, прогиб свободного конца определяется по формуле

Для рассматриваемого бруса прогиб его свободного конца в вертикальной плоскости

Полный прогиб свободного конца

f fx2 f y2 2,232 0,6552 2,32 мм.

Проверим балку на жесткость:

Условие жёсткости имеет вид ,

Следовательно, условие жёсткости выполнено. В противном случае, требовалось усилить поперечное сечение балки, взять следующий профиль прокатного профиля.

Если сила F приложена вертикально, то

Таким образом, при отклонении силы от плоскости наибольшей жесткости

всего на 10 напряжение возросли на 137 53,9 100% 154% , прогиб

53,9

78