Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основные задачи 2-го семестра

-построить ядро сечения;

-построить нейтральную ось и определить координаты опасных точек сечения;

-определить нормальные напряжения в характерных точках верхнего сечения колонны в долях силы P;

-построить в аксонометрии эпюру нормальных напряжений для верхнего сечения колонны;

-подобрать допускаемую величину силы P с учетом соответственного веса колонны.

Числовые данные: a = 2м, h = 9м, [σ]сж = 5МПа, [σ]р = 0,6МПа, γ = 17кН/м3

Изобразим сечение в масштабе (рис. 4.16).

Выбираем исходные оси x0, y0. Ось x0 проходит через нижние точки сечения, ось y0 совпадает с осью симметрии сечения.

Разбиваем сечение на простейшие части, геометрические характеристики которых определяем по готовым формулам, приведенным в таблице приложения:

1) половина круга r = 1м

F1 = 1,57∙12 = 1,57м2;

Ix1 = 0,11∙14 = 0,11м4;

Iy1 = 0,393∙14 = 0,393м4

2) прямоугольник b = 6м, h = 2м. F2 = 6∙2 = 12м2;

Ix2 = 61223 4 м4;

Iy2 = 21263 36 м4.

3) прямоугольник b = 2м, h = 0,5м.

F3 = 2∙0,5 = 1м2;

119

Определяем моменты инерции сечения относительно исходных осей x0, y0:

Положение главной центральной оси x определяется по формуле: yC SFx0 ,

Fn Fi 1,57 12 1 14,57м2

i 1

Учитывая числовые значения Sx0 и F , получим yC 14,5722,84 1,57м. Отложив

yC от оси x0, проводим главную центральную ось x параллельно исходной оси x0. Вычисляем момент инерции относительно этой оси:

Ix Ix0 FYC2 44,62 14,57 1,572 8,71м4 .

Вычисляем радиусы инерции:

120

121

Вычисляем координаты полюсов, соответствующих нулевым линиям по формулам:

122

По координатам строим полюсы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (рис. 4.17). На участке 2, 3, …, 8 каждая следующая нулевая линия может быть получена в результате вращения предыдущей нулевой линии около фиксированной угловой точки. При этом полюс перемещается по прямой. Поэтому соединим полюсы последовательно прямыми линиями. На участке 8, 1, 2 соединим полюсы плавной кривой. Таким образом, ограничиваются контуры ядра сечения.

Строим нейтральную ось и определяем координаты опасных точек сечения.

Сжимающая сила приложена в точке 4. Обозначим ее цифрой 0. Координаты этой точки x0 = -3 м, y0 = 0,93 м.

Отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях x и y соответственно равны:

Отложим отрезок a на оси x, отрезок b на оси y и проведем нулевую линию n n (рис. 4.17). Нулевая линия делит сечение на растянутую и сжатую зоны.

Опасными точками сечения являются точки 1 и 0, максимально удаленные от нулевой линии. Напряжения в этих точках найдем по формуле:

В точке 1 с координатами x1 = 3 м, y1 = -1,07 м действует наибольшее растягивающее напряжение.

В точке 0 с координатами x0 = -3 м, y0 = 0,93 м действует наибольшее сжимающее напряжение

Эпюра нормальных напряжений, значения которых отложены от линии, перпендикулярной нейтральной оси, показана на рис. 4.17. Каждая ордината этой эпюры определяет величину нормальных напряжений, возникающих в точках поперечного сечения, расположенных на прямой, проходящей через эту ординату параллельно нейтральной оси.

С помощью этой эпюры были найдены напряжения во всех характерных точках сечения (рис. 4.17) и построена в изометрии эпюра нормальных напряжений для верхнего сечения колонны (рис. 4.18).

Подбираем величину нагрузки Р с учетом собственного веса колонны. Условие прочности по растягивающим напряжениям имеет вид:

Таким образом,

123

Условие прочности по сжимающим напряжениям имеет вид:

Таким образом,

Из двух значений Р за допускаемое принимаем меньшее: Р 2069 кН

σ0=-0,41P 1/м2

0

1

σ1=0,29P 1/м2

Рис. 4.18. Пространственная эпюра нормальных напряжений

Библиографический список

1. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. В двух томах. Том 1. Изд. 2-е, стереотип. – М.: Наука, 1965. 364 с.

124

2.Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 1975. 654 с.

3.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1972. 544 с.

4.Филоненко-Бородич и др. Курс сопротивления материалов, ч.1. – М.: Гос изд.технико-теоретической литературы, 1955. 644 с.

5.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1977. 832 с.

Приложение Геометрические характеристики простейших сечений

125

126

РАЗДЕЛ 5

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

5.1. Основные понятия о напряженном состоянии в точке. Тензор напряжений.

Под напряжённым состоянием в точке понимают совокупность напряжений во всех площадках, проходящих через заданную точку.

Изучая распределение напряжений и деформаций в упругом теле, используют общепринятую модель сплошного, безпустотного, упругого

тела.

Для исследования напряженно-

го состояние в произвольной точке

“ M ” (рис. 5.1) выделяем в ее окрест-

ности элементарный параллелепипед с

размерами dx , dy , dz .

Полные напряжения на гранях этого элемента являются результатом взаимодействия выделенного параллелепипеда с остальным телом. Разложим их по трем направлениям: по нормали

к грани и по касательным направлениям (рис. 5.2).

Нормальные напряжения обозначим -

xx; yy ; zz ;

касательные - xy; xz ; yz ; yx ; zx ; zy .

127

ным весом параллелепипеда, можно считать, что одноименные параллельные напряжения для каждой пары граней параллелепипеда практически одинаковы, а напряженное состояние однородно.

Таким образом, на каждой паре параллельных граней действуют три неизвестных компоненты напряжений.

Совокупность девяти компонент напряжений образует тензор напря-

жений.

Тензор напряжений полностью определяет напряженное состояние в

точке.

В силу закона парности касательных напряжений можно записать

zx xz ,

yz zy .

То есть, на двух взаимно-перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по величине и направлены к ребру или от ребра выделенного элемента.

В силу этого закона тензор напряжений является симметричным тензором. Следовательно, напряженное состояние в точке определяется шестью независимыми компонентами напряжения xx ; yy ; zz ; xy ; yz ; zx .

Рис. 5.3. Расчетная схема (к примеру 5.1)

128