Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основные задачи 2-го семестра

6. Определяем величину наибольшего касательного напряжения

Рис. 5.35.

Схема к определению максимальных касательных напряжений

7. Определяем нормальные и касательные напряжения на октаэдрической площадке.

окт 13 1 2 2 2 3 2 3 1 2 ;

окт 13 13,4 7,2 2 7,2 9,7 2 9,7 13,4 2 10,35 МПа.

Рис. 5.36.

Схема к определению октаэдрических напряжений

169

8. Вычисляем нормальные и касательные напряжения на площадке, нормаль к которой составляет углы 1 и 2 с первой и второй главными

осями напряжений.

l cos 1 ; l cos 64 0,438 ; m cos 2 ; m cos 48 0,669 ;

n 1 l2 m2 1 0,4382 0,6692 0,6;

Тогда нормальное напряжение будет равно

1 l2 2 m2 3 n2 ;

13,4 0,4382 7,2 0,6692 9,7 0,62 4,14 МПа.

Полное напряжение определяется по формуле

P 1 l 2 2 m 2 3 n 2 ;

P 13,4 0,438 2 7,5 0,669 2 9,7 0,6 2 9,56 МПа.

Касательное напряжение будет равно:

P2 2 9,562 4,14 2 8,6 МПа.

9. Определяем главные деформации в окрестности точки М.

1 E1 1 2 3 2 101 5 13,4 0,3 7,2 9,7 9,24 10 5 ;

2 E1 2 1 3 2 101 5 7,2 0,3 13,4 9,7 4,16 10 5 ;

3 E1 3 2 1 2 101 5 9,7 0,3 7,2 13,4 5,78 10 5 .

Относительное изменение объема определяем по формуле

10. Разложим тензор напряжений в главных осях

на шаровой тензор

и тензор-девиатор

170

Рис. 5.37

Схема к определению шарового тензора

итензора девиатора

11.Определяем полную удельную потенциальную энергию

U Uф UV

где - UV - удельная потенциальная энергия изменения объема, Uф - удельная потенциальная энергия изменения формы.

UUф UV 4,10 10 6 1,045 10 3 1,049 МДж.

12.Определяем расчетное напряжение в точке М по гипотезе наибольших касательных напряжений

IIIр 1 3 13,4 9,7 22,8 МПа.

13.Определяем расчетное напряжение в точке М по гипотезе удельной потенциальной энергии формоизменения

171

Таблица 1.

Расчетно-проектировочная работа №2 «Исследование плоского на- пряженно-деформированного состояния в точке»

Задание

В заданной точкой М расчетом определены координатные напряженияxx , yy , xy (табл. 2). Провести исследование напряженно-деформированного

состояния детали в этой точке. Материал считать упругим, изотропным с меха-

ническими характеристиками:, модулем упругости E 2 105 МПа, коэффициентом Пуассона 0,3.

Требуется исследовать напряженно деформируемое состояние детали в точке в следующей последовательности:

172

1.Записать тензор напряжений в осях X, Y. Изобразить на гранях, выделенного в окрестности точки М элемента действующие на гранях этого элемента напряжения.

2.Определить аналитически величины и направления главных напря-

жений.

3.Определить величину максимального касательного напряжения, предварительно указав положение площадки, на которой они развиваются.

4.Определить графически величины и направления главных напряже-

ний.

5.Определить аналитически величины нормальных и касательных на-

пряжений на площадках, нормали к которым образуют углы и 90 с первой главной осью напряжений.

6.Определить графически (круг Мора) величины нормальных и касательных напряжений на площадках, нормали к которым образуют углы и

90 с осью Z .

7.Считая главные оси напряжений совпадающими с главными осями деформаций, определить величины главных деформаций.

8.Определить расчетные напряжения в заданной точке по гипотезе наибольших касательных напряжений.

9.Определить расчетные напряжения в заданной точке по гипотезе удельной потенциальной энергии формоизменения.

1. В окрестности расчетной точки выделяем координатными сечениями малый элемент (рис. 5.38) и показываем напряжения, действующие на его гранях.

Рис. 5.38. Расчетная схема напряженного состояния в точке

2.Определяем аналитически величины и направления главных напря-

жений.

173

Определяем угол, составляемый нормалью к главной площадке, где действует напряжение 1 , с осью X

3. Определяем величину максимального касательного напряжения

Результаты расчета представим на рис. 5.39.

Рис. 5.39. Схема к определению направления главных напряжений

4. Определяем графически величины и направления главных напряжений.

Для графического определения величины и направления главных на-

циссы точек ее пересечения с осью σ отрезки ОА и ОВ – дадут соответственно значения главных напряжений σ1 и σ3 . Для определения положения главных

площадок из точки Dx проведём линию параллельную оси σ до пересечения с

окружностью. Точка М является полюсом. Соединяя эту точку с точками А и В получим направления соответствующих главных напряжений σ1 и σ3 .

174

Для этого из точки В круга Мора, построенного в пункте 6, проводим прямую под углом α, откладываемую от оси σ против часовой стрелке (угол α- положительный), до пересечения с окружностью – точка Dα (рис. 41). Координаты

этой точки σα ,τα определяют величину напряжений на площадке с нормалью, проведённой под углом α к оси σ1 . Проведя прямую из точки Dα через центр окружности С до пересечения получим точку Dα+90 , координаты которой опре-

деляют величины напряжений на площадке, находящейся под углом α + 90 к оси σ1 , а прямая ВDα+90 показывает направление нормали к этой площадке.

Рис. 41.

Схема для определения величины и направления напряжений на наклонных площадках

7. Считая главные оси напряжений совпадающими с главными осями деформаций, определяем величины главных деформаций.

1 E1 1 - 3 2 1108 40,03 0,3 -12,53 21,8 10-8 ;

3 E1 3 - 1 2 1108 -12,53 0,3 40,03 12,2 10-8 .

8.Определяем расчетные напряжения в заданной точке по гипотезе наибольших касательных напряжений.

рIII 1 - 3 40,03 -12,53 52,56 кПа.

9. Определяем расчетные напряжения в заданной точке по гипотезе удельной потенциальной энергии формоизменения.

176

177

6. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННОГО БРУСА ПРИ СЛОЖНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ

6.1. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ Заданием предусматривается применение теории сложного сопротивления при подборе

поперечного сечения и проверке прочности пространственного бруса с прямолинейными участками и различной формой поперечных сечений на участках Основными формами поперечных сечений предлагаются: круглая, квадратная и прямоугольная. На участке с прямоугольной формой предусматривается также определение положения нейтральной оси в наиболее нагруженном сечении.

Для выполнения работы заданы:

1.Схема пространственного бруса, длина его участков форма поперечного сечения на каждом участке, расположение и значение внешних сил.

2.Значение допускаемого напряжения для материала системы на растяжение и

сжатие.

При выполнении работы требуется:

1.Построить эпюры нормальной силы N, крутящего момента Мк и изгибающих моментов Му и Mz относительно главных центральных осей поперечных сечений.

2.Подобрать размеры указанных форм поперечных сечений на каждом участке бруса и проверить их прочность.

3.Определить положение нейтральной оси в наиболее нагруженном сечении на участке с прямоугольной формой поперечного сечения.

6.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Для стержневой системы, шарнирно закрепленной в узлах задаются ожидаемыми

направлениями реакций со стороны креплении на систему (рис. 6.1). Пользуясь уравнениями равновесия для пространственной системы сил, эти реакции определяются через заданные внешние силы. Если заданная стержневая система жестко заделана одним из концевых сечений (рис 6.2) то определение реакций и реактивных моментов в заделке не является обязательным, так как в этом случае внутренние силовые факторы на каждом участке можно определять, рассматривая каждый раз ту отсеченную часть бруса, в которую не входит заделка Используя метод сечений, на каждом участке системы составляют аналитические

выражения нормальной силы N крутящего момента Мк и изгибающих моментов Му и Mz относительно главных центральных осей, произвольно выбранного поперечного сечения как функции абсциссы этого сечения и сил, расположенных по одну сторону от сечения Нормальная сила в произвольно выбранном поперечном сечении равна алгебраической

сумме проекций на геометрическую

178