ось бруса всех сил, действующих по одну сторону от этого сечения. Крутящий момент Мк = Мх равен алгебраической сумме моментов сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно геометрической оси участка стержневой системы. Изгибающие моменты Му и Mz в произвольном поперечном сечении равны алгебраической сумме моментов сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно каждой из главных центральных осей этого сечения.
По записанным аналитическим выражениям для N, Мк, Му, Mz вычисляют их значения в поперечных сечениях, расположенных в начале и конце каждого участка, а также при необходимости их экстремальные величины в пределах участка бруса.
Ординаты эпюр N, Мк, Му, Mz откладываются перпендикулярно геометрической оси бруса на каждом участке системы. Эпюру изгибающего момента рекомендуется строить в плоскости его действия со стороны растянутых или со стороны сжатых волокон бруса в зависимости от того, в каком случае она будет более наглядной.
По эпюрам внутренних силовых факторов на каждом участке системы устанавливают наиболее нагруженное (опасное) поперечное сечение, в котором все внутренние силовые факторы одновременно оказываются наибольшими по величине. Так как такого сечения может и не оказаться, то иногда расчет на прочность приходится производить в нескольких поперечных сечениях.
Для расчета на прочность необходимо выяснить наиболее напряженную точку в опасном сечении и вид напряженного состояния в этой точке для правильного составления условия прочности по методу допускаемых напряжений. При определении размеров поперечного сечения обычно влиянием нормальной силы N пренебрегают, затем расчетные размеры округляют с учетом существующих стандартов на сортовой прокат и производят проверку прочности с учетом влияния нормальной силы.
Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 6.3) в зависимости от заданного соотношения сторон b/h и полученных
соотношений между Мк, Му и Mz наиболее напряженной может оказаться одна из трех точек: А, В или С.
Поэтому, как правило, условие прочности приходится составлять для каждой из этих точек с целью выяснения расчетного напряжения. В некоторых случаях несложный анализ соотношений между Мк, Му и Mz с учетом отношения сторон b/h позволяет без предварительного вычисления расчетных напряжений во всех трех точках установить наиболее напряженную точку.
Положение нейтральной оси в поперечном сечении при общем случае действия сил определяется уравнением
где уп и zn—координаты точек нейтральной оси; N, Mz, Му — внутренние силовые факторы в этом сечении (с учетом их знака).
Обычно считают силу N положительной, если она вызывает растяжение по всему сечению, а изгибающие моменты Mz и Му будем считать положительными, если они вызывают растяжение в первой четверти поперечного сечения в соответствии с принятым направлением главных центральных осей v и z в сечении (см. рис. 6.3).
Для построения нейтральной оси удобно вычислить отрезки, отсекаемые ею на главных центральных осях сечения:
Через концы этих отрезков (рис. 6.4) проводят нейтральную ось п — п, которая делит поперечное сечение на две зоны — растянутую и сжатую.
6.З. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Дано: Р1 = 2кН; Р2 = 3 кН; Р3 = 6кН; l = 1 м; [
р] = [
сж] = 100 МПа; b/h = 3 (рис. 6.5).
Требуется: 1. Построить эпюры нормальной силы N, крутящего момента Мк, изгибающих моментов Му и Mz.
2. Подобрать размеры указанных форм поперечных сечений
на каждом участке бруса и проверить прочность с учетом нормальной силы. 3. Определить положение нейтральной оси в наиболее нагруженном сечении на участке с прямоугольной формой поперечного сечения.
Расчет
1. Определение реакций креплений на стержневую систему.
Выберем произвольную прямоугольную систему координат xyz и зададимся ожидаемыми направлениями реакций со стороны креплений на систему (см. рис. 6.5). Величину реакций определим, пользуясь известными уранениями статики. Так как система сил пространственная, то можно составить шесть уравнений равновесия:
Отрицательный знак для реакций Ву Cz и Dz указывает, что их направления противоположны принятым при составлении уравнений. В дальнейшем расчете этим реакциям дадим правильное направление.
2. Определение на каждом участке системы нормальной силы N, крутящего момента Мк, изгибающих моментов Му, Mz и построение их эпюр. При составлении функций внутренних силовых факторов в произвольно выбранном поперечном сечении каждого участка ось xt будем направлять по геометрической оси бруса на этом участке, а оси yt и zt совмещать с главными осями поперечного сечения (рис. 6.6).
Нормальную силу N считаем положительной, если она вызывает растяжение рассматриваемой отсеченной части. Изгибающие моменты Му и Mz будем считать положительными, если они вызывают растяжение в первой четверти поперечного сечения при выбранных направлениях главных осей у{ и zt. Крутящий момент МК = МХ считаем положительным, если внешние нагрузки стремятся повернуть отсеченную часть стержня по часовой стрелке при взгляде на эту часть со стороны проведенного сечения.
Участок I (А —В): 0
x1
На первом участке возникает изгиб в плоскости xz относительно оси у:
(My)x1=Axx1; (My)x1=0=0; (My)x1=l=Axl=6∙103∙1=6∙103 Н∙м.
Участок II (В —С): 0≤х2≤21.
Второй участок подвергается кручению с изгибом в двух плоскостях ху и xz:
MkII=-Axl=-6∙103 Н∙м; (My)x2=Axx2-P1x2;
(My)x2=0=0; (My)x2=2l=(Ax-P1)2l=(6-2)∙103∙2=8∙103 Н∙м;
(Mz)x2=Byx2; (Mz)x2=0=0; (Mz)x2=2l=By2l=3∙103∙2∙1=6∙103 Н∙м.
Участок III (E —С): 0≤х3≤21.
Рассматриваем правую отсеченную часть стержневой системы. На третьем участке возникает растяжение, кручение и изгиб в двух главных плоскостях ху и хz.
NIII=P3=6∙103 Н; MkIII=-Dyl=-6∙103∙1=-6∙103 Н∙м; (My)x3=-P3l-Dzx3; My)x3=0=-P3l=-6∙103∙1=-6∙103 Н∙м; (My)x3=2l=-P3l-Dz2l=-6∙103∙1-1∙103∙2∙1=-8∙103 Н∙м; (Mz)x3=P2x3-Dyx3; (Mz)x3=0=0; (Mz)x3=2l=(3-6)∙103∙2∙1=-6∙103 Н∙м.
Участок IV (D — E): 0<x4</.
На четвертом участке возникает сжатие и изгиб в двух плоскостях ху и xz:
NIII=-Dz=-103 Н; (My)x4=-P3x4; (My)x4=0=0; (My)x4=l=-P3l=-6∙103∙1=-6∙103 Н∙м;
(Mz)x4=-Dyx4; (Mz)x4=0=0; (Mz)x4=l=-Dyl==-6∙103∙1=-6∙103 Н∙м.
В соответствии со значениями N, Мк, Му, Mz, вычисленными для каждого участка системы, на рис. 6.7 построены эпюры
Участок III. Наиболее нагруженным является поперечное сечение около точки С при
x3=2l (см. рис. 6.7, а — г). В этом сечении (рис. 6.10)
N=6 103 Н, Мк = 6 103 Н м, Мy = 8 103 Н м, Мz = 6 103 Н м.
Соотношение сторон поперечного сечения b/h = 3.
Взависимости от значения Мk, Му, Mz и соотношения сторон прямоугольного сечения наиболее напряженной точкой в сечении может оказаться одна из трех—./1, В или С
(рис. 6.10).
При подборе размеров поперечного сечения не будем учитывать влияние нормальной силы N.
Вточке А, посередине длинной стороны сечения, возникает плоское напряженное
состояние. По гипотезе наибольших касательных напряжений эквивалентное напряжение в точке А
Здесь
или
Касательное напряжение в точке А максимальное:
Из справочных данных (см. Приложение 4) при кручении бруса прямоугольного сечения с соотношением сторон b/h = 3 значение коэффициента 
= 0,801. Тогда
Эквивалентное напряжение в точке А
В угловой точке В возникает линейное напряженное состояние
Вточке С, посередине короткой стороны сечения, напряженное состояние плоское.
Вданном случае σC< σA и τс=γτтах<τА, поэтому эквивалентное напряжение в точке С σэС<σэА и вычислять его не будем.
Сопоставление расчетных напряжений в точках А и В показывает, что наиболее
напряженной является точка А. По условию прочности
откуда 
∙
Конструктивно принимаем h = 58 мм, тогда b=174 мм.
Проверим прочность на участке при принятых размерах сторон поперечного сечения с учетом влияния нормальной силы.
Для полученных размеров
Эквивалентное напряжение в точке А
Несмотря на учет влияния нормальной силы, расчетное напряжение получилось меньше допускаемого. Это объясняется тем, что конструктивно размеры сечения приняты несколько больше расчетных, а влияние нормальной силы N по сравнению с изгибающим моментом Mz чрезвычайно мало.
Недонапряжение
Участок IV. Опасное сечение около точки Е при х4 = l. В этом поперечном сечении (рис.
6.11)
N=103 H, Му = 6 103 Н м, MZ = 6 103 Н м.
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
или 
