Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основные задачи 2-го семестра

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ № 1

Стальной вал постоянного сечения (рис. 7.5, а) вращается с постоянной угловой скоростью n = 120 об/мин и передает через шкив диаметром D2 = 0,6 м мощность N = 20 кВт. Требуется подобрать диаметр вала из условия его прочности, если вал изготовлен из стали марки Ст. 50 с пределом текучести материала т = 380 МПа и коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести nт= 3.

Остальные числовые данные к задаче:

а= 0,3 м; в = 0,3 м; с = 0,2 м; D1 = 0,3 м.

1.Определение нагрузок, передающихся на вал

На рис.7.5, а показаны усилия, приложенные к шкиву (сечение D) и к шестерне (сечение B).

Крутящий момент, передаваемый через шкив на вал:

Нагрузки, действующие на вал, определяются с учетом того, что окружные усилия, приложенные к шкивам, при переносе их в центр поперечного сечения вала приводятся к силам, изгибающим его в двух плоскостях, и скручивающему моменту.

199

Расчетная схема вала показана на рис. рис. 7.5, б.

2. Построение эпюр изгибающих и крутящего моментов

Из условий нагружения вала следует, что он испытывает кручение на участке BD постоянным крутящим моментом M кр 1,62 кН м, эпюра ко-

торого показана на рис.7.5, в.

Схема нагрузок, приложенных к валу в вертикальной плоскости, представлена на рис.7.5,г. Для построения эпюры изгибающих моментов от действия этих сил, вал рассматривается как простая двухопорная балка, для которой следует вычислить вертикальные опорные реакции:

mA 0;10,83 0,3 14,03 0,8 RzC 0,6 0; RzC 24,12 кН;

mC 0; RzA 0,6 10,8 0,3 14,03 0,2 0; RzA 0,72 кН.

Проверка вычислений опорных реакций:

Y 0; 0,72 10,8 24,1 14,03 0.

Вычисляем изгибающие моменты от действия вертикальных сил в характерных сечениях вала:

M yA 0; M yB RzA a 0,72 0,3 0,216 кН м; M yD 0; M Cy Qzc 14,03 0,2 2,80 кН м.

По вычисленным значениям построена эпюра изгибающих моментов My от действия сил, расположенных в вертикальной плоскости

(рис.7.5,д).

200

Рис 7.5. Расчетная схема и эпюры моментов внутренних усилий в поперечных сечениях вала

На рис.7.5, е показаны нагрузки, приложенные к валу в горизонталь-

ной плоскости (для наглядности чертежа схема повернута на 90 ).

Для построения эпюры изгибающих моментов от действия этих сил вычисляются горизонтальные опорные реакции:

mA 0; RyC 0,6 8,1 0,8 0; RyC 10,8 кН;

mC 0; RyA 0,6 8,1 0,2 0; RyA 2,7 кН.

Проверка определения горизонтальных опорных реакций:

201

Y 0; RyA RyC Qy 2,7 10,8 8,1 0.

Изгибающие моменты в характерных сечениях вала:

M zA 0; M zB RyA a 2,7 0,3 0,81 кН м; M zD 0; M zC Qy 0,2 8,1 0,2 1,62 кН м.

По вычисленным значениям момента строится эпюра Mz (рис.7.5,ж).

3. Подбор поперечного сечения (определение диаметра вала)

Материал вала - сталь марки Ст.50, допускаемое напряжение для которой

[ ] т 380 127 МПа. nт 3

Опасным для вала является сечение С, так как в этом сечении действует крутящий момент, а изгибающие моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях максимальны (рис.36 в, д, ж).

Величины моментов в сечении С :

202

ЗАДАЧА № 2

Для стального вала постоянного сечения, рассмотренного в предыдущей задаче, требуется:

- выполнить проверочный расчет на прочность при напряжениях в его поперечных сечениях, циклически изменяющихся во времени.

Принять, что нормальные напряжения изменяются по симметричному циклу, а касательные по пульсационному. В расчете учесть влияние на прочность вала концентрации напряжений, создаваемой наличием шпоночных канавок в сечениях, где имеются шкивы, и влияние прессовой насадки подшипников - в опорных сечениях. Обработка поверхности вала - тонкая обточка.

Нормативный запас усталостной прочности принять [n] = 1,5. Усилия, приложенные к валу и входящие в расчет, принимаются из

решения задачи № 1; механические характеристики материала - из табл.7.5.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ № 2

Пусть требуется произвести проверку на усталостную прочность вала, рассмотренного в задаче № 1. Принимается, что нормальные напряжения изменяются по симметричному циклу, а касательные - по пульсационному.

Нормативный запас усталостной прочности [n] = 1, 5. Обработка поверхности вала - тонкая обточка.

Необходимые данные для проверочного расчета вала взяты из условия задачи № 1.

1.Определение максимальных напряжений в сечении

Для рассчитываемого вала опасным является сечение С, где моменты максимальные (см. рис.7.5).

Диаметр вала был определен при решении предыдущей задачи № 1. d = 66 мм =66 10 -3 м.

Вычисляем моменты сопротивления сечения вала при его изгибе и кручении:

По эпюрам моментов (см.рис. 7.5 в, ж, д) находим крутящий и изгибающие моменты, действующие в сечении С: крутящий момент Mк = 1,62 кНм; изгибающие моменты My = 2,806 кН м и Mz = 1,62 к Нм.

203

Максимальные нормальные напряжения от совместного действия изгибов в двух плоскостях:

2. Определение характеристик циклических напряжений

По условию задачи нормальные напряжения изменяются по симметричному циклу, следовательно

m 0; a max 114 МПа; r 1.

Касательные напряжения изменяются по пульсационному циклу

m a 0,5 max 0,5 28,70 14,35 МПа; r 0.

3.Механические характеристики материала

Необходимые характеристики материала выписываются из справочника или из табл.10: для стали марки Ст.50: Т = 380 МПа; в = 700 МПа;

-1 = 300 МПа; -1 = 180 МПа.

4.Вычисление коэффициентов снижения предела выносливости

Из табл. 7.1 7.4 выписываются коэффициенты, необходимые для расчета. Сечение С является опорным, и концентрация напряжений создается прессовой посадкой подшипника.

Используя данные табл.7.2 (при в = 700 МПа и d = 66 мм), путем линейной интерполяции находим

По рис. 7.3 определяем коэффициент влияния качества обработки поверхности при тонкой обточке:

= 0,85.

Коэффициент чувствительности материала к асимметрии цикла берется из табл. 7.3:

= 0,05.

Коэффициенты снижения предела выносливости с учетом всех рассмотренных факторов имеют следующие значения:

204

5.Определение запаса усталостной прочности Запас усталостной прочности при изгибе и кручении:

Запас усталостной прочности при совместном действии изгиба и кручения:

Запас усталостной прочности вала не обеспечен, так как он меньше нормативного. Диаметр вала необходимо увеличить или ввести упрочняющую обработку.

Примечание. Если опасным является сечение, в котором насажен шкив, то концентрация напряжений создается за счет шпоночной канавки и для определения коэффициентов k , k , и нужно использовать табл.7.1 и 7.4.

205

РАЗДЕЛ 8.

РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Основные теоретические сведения и расчетные формулы 8.1. Понятие об устойчивости равновесия упругих тел

Из теоретической механики известно, что равновесие твердых тел может быть устойчивым или неустойчивым. Например, шарик, расположенный на дне вогнутой сферы, находится в устойчивом равновесии (рис. 8.1, а), а на вершине выпуклой сферы – в неустойчивом (рис. 8.1, б).

Рис. 3.1. Устойчивое (а) и неустойчивое (б) равновесие

При устойчивом равновесии тело, выведенное какой-либо внешней силой из положения равновесия, возвращается в это положение после прекращения действия силы.

Аналогичные случаи устойчивого и неустойчивого равновесия имеются и в статике упругих тел.

Прямолинейная форма равновесия

упругого стержня, заделанного нижним концом и нагруженного сверху центрально приложенной сжимающей силой, при

некоторой величине этой силы может

оказаться неустойчивой, и стержень резко искривится (рис. 8.2).

Устойчивость или неустойчивость формы равновесия упругого тела зависит от его размеров, материала, величин и направления сил; например, прямолинейная форма равновесия центрально сжатого стержня

(рис. 8.2) устойчива при малых значениях

сжимающей силы и неустойчива, когда величина этой силы превышает некоторый предел.

Прямолинейный стальной стержень при некотором значении сжимающей силы может находиться в состоянии устойчивого равновесия, а деревянный стержень таких же размеров при том же значении силы — в состоянии неустойчивого равновесия.

Значение силы, нагрузки и напряжения, при котором первоначальная форма равновесия упругого тела становится неустойчивой, называется соответственно критической силой, критической нагрузкой и критическим напряжением.

223

Исследование устойчивости и определение критических сил или нагрузок имеет большое практическое значение, так как для любого сооружения в целом и каждого его элемента должна быть обеспечена устойчивость заданной (исходной) формы равновесия под действием приложенных к нему сил. Резкое изменение формы какого-либо элемента может вызвать разрушение всего сооружения.

Понятие устойчивости не следует смешивать с понятием прочности; каждое из них имеет самостоятельное значение. Так, например, сжатый стержень при действии на него нагрузки, большей критической, изогнется, но при этом деформации его могут быть упругими, и он после снятия нагрузки восстановит свою первоначальную форму. Следовательно, потеря устойчивости в этом случае не связана с потерей прочности.

8.2. Продольный изгиб

Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально сжатого прямого стержня называется продольным изгибом; это наиболее простая и в то же время одна из наиболее важных инженерных задач, связанных с проблемой устойчивости.

расположенным у нижнего конца стержня; а ось х — направленной вверх. Изгибающий момент в сечении с абсциссой х равен M Py .

Подставим выражение М в уравнение (8.1):

d 2 y Py 0 , dx2 EJ

__________________________

* Приближенное уравнение можно использовать потому, что потеря устойчивости стержня возникает при малых его деформациях.

208

Условие (8.5) выполняется при В = 0 или sin kl = 0. При подстановке значения В = 0 и найденного значения А = 0 в уравнение (8.4) получаем выражение у = 0, не соответствующее условию задачи, целью которой является определение такого значения силы Р, при котором величины у могут быть не равными нулю.

Таким образом, для того чтобы удовлетворить условию задачи и условию (8.5), необходимо принять sinkl=0 или [на основании выражения (8.3)]

где п = 1, 2, 3, ... .

Условие (8.6) удовлетворяется и при n = 0, однако при этом из выражения (8.7) следует P = 0, что не удовлетворяет условию задачи. Наименьшее значение P Pкр , отличное от нуля, можно получить из выражения (8.7) при n = 1. Тогда

lPEJкр ,

и

Формула (8.8) впервые была получена Эйлером, поэтому критическая сила

Pкр называется также эйлеровой критической силой.

Если сжимающая сила меньше критической, то возможна только прямолинейная форма равновесия, которая в этом случае является устойчивой.

223