Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основные задачи 2-го семестра

49

Так как на балке СD эпюра Q меняет свой знак, то на эпюре М будет экстремум в сечении, где Q=0. Найдём его.

z0 3,q10 310,10 0,310 м, Мэкстр RD 0,31 q 0,31 0,231 0,48кН м.

Все построенные нами эпюры изображаем на одном рисунке (рис. 22). Построить окончательную эпюру изгибающих моментов М можно было бы

и проще. Для этого нужно построить эпюры М1Х1 (рис. 22, ж) и М2 Х2 (рис. 22, з), умножив соответственно все ординаты эпюры М1 на величину Х1 0,662 кН м, а все ординаты эпюры М2 на величину Х2 0,44 кН м.

Окончательную эпюру M тогда получим, сложив геометрически ординаты трёх эпюр в характерных сечениях балки:

М МР М1Х1 М2 Х2 .

По скачкам на эпюре поперечных сил Q находим опорные реакции неразрезной балки (рис. 20).

RD

Эпюра Q

Рис. 20. Определение опорных реакций неразрезной балки по скачкам на эпюре поперечных сил Q

Таким образом,

RA 0,77 кН (вниз); RВ 20,57 кН (вверх); RС 16,9 кН (вниз); RD 3,1кН (вверх).

50

Рис. 22. Статически неопределимая балка: а - заданная система, б - основная система, в - эквивалентная система, г - грузовая эпюра изгибающих моментов, д - первая единичная эпюра, е - вторая единичная эпюра, ж - эпюра изгибающих моментов от действия на основную систему момента Х1 0,662 кН м, з -

эпюра изгибающих моментов от действия на основную систему момента Х2 0,44 кН м, и - окончательная эпюра изгибающих моментов, к - эпюра по-

перечных сил, л - схема к определению прогибов в сечениях А и В (деформационная проверка)

51

3. Деформационная проверка. Выбираем другую основную систему.

Отбрасываем две крайние опоры с того конца балки, на котором нет опо-

ры.

Заменяем их действие на балку силами, равными реакциям этих опор. В нашем случае это силы, равные реакциям RA и RB .

Рис. 21. Новая основная система, загруженная внешними нагрузками и силами

RA и RB

С помощью универсального уравнения упругой линии найдем прогибы в сечениях А и В, где были отброшены опоры.

Если задача решена верно, прогибы в сечениях А и В должны получится равными нулю.

Универсальное уравнение упругой линии в общем виде, как известно, выражается формулой

где Е – модуль упругости материала балки,

Ix – момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной

оси х,

у – прогиб балки в сечении с координатой z,

у0, 0 – соответственно, прогиб и угол поворота сечения в начале коорди-

нат,

Mi ,Fi ,qi – соответственно, сосредоточенные моменты, силы и распределён-

ные нагрузки,

nM ,nF ,nq – количество имеющихся на балке, соответственно, сосредото-

ченных моментов, сил и распределённых нагрузок,

аi ,bi ,ci – расстояния от начала координат до точки приложения, соответственно, сосредоточенного момента Mi , силы Fi и до начала распределённой нагрузки qi .

Начало координат должно быть обязательно на одном из концов балки. Лучше на том, где есть опора. Итак, начало координат - на правом конце балки (точка D). Ось z направляем вдоль балки, ось у – вверх.

52

Балку разбиваем на участки, на которых нагрузки распределены равномерно. В данном случае будет 6 участков.

На последнем от начала координат участке проводим сечение, и обозначаем расстояние от начала координат до него ”z”.

С распределённой нагрузкой q , не заканчивающейся в конце балки, по-

ступаем следующим образом. Продолжаем её до конца балки (на рис. 11, л она показана пунктиром сверху), и прикладываем на этом же участке компенсирующую нагрузку с такой же интенсивностью q , но действующую в противо-

положном направлении. На рис. 11, л компенсирующая распределённая нагрузка показана пунктиром внизу.

Заданная распределённая нагрузка сливается с добавленной и получается единая распределённая нагрузка q , начинающаяся в начале координат и заканчивающаяся в конце балки. Компенсирующую распределённую нагрузку q учитываем как отдельную.

Теперь на балке две распределённые нагрузки с интенсивностью q , и они

обе заканчиваются в конце балки. Значит, мы можем их учесть в универсальном уравнении упругой линии балки.

Запишем универсальное уравнение упругой линии для рассматриваемой балки.

ставят в соответствии с правилом знаков для изгибающих моментов.

Силы, моменты и нагрузки записывают в универсальное уравнение упругой линии в том порядке, в каком они встречаются, когда мы движемся от начала координат к последнему участку балки.

RA (z 1,4)36 уч. . 6

Так как при выводе на лекции универсального уравнения упругой линии было принято допущение, что на прогиб любого сечения оказывают влияние только нагрузки, заключенные между началом координат и этим сечением, то уравнение необходимо разбить на участки. Делаем это.

53

Используем второе граничное условие. Запишем универсальное уравнение упругой линии для сечения C при z=0,4 м, заведомо зная, что уС =0, т.е.

ЕIx уС =0. Точка С принадлежит концу 1 участка, следовательно, записываем уравнение до черты с индексом «1 уч.».

отсюда EIx 0 0,0560 кН м2 .

Теперь найдем прогибы в сечениях В и А.

Точка В принадлежит концу 3 участка, следовательно записываем уравнение до черты с индексом «3 уч.».

Точка А принадлежит концу 5 участка, следовательно записываем уравнение до черты с индексом «5 уч.».

Незначительные отличия прогибов балки сечениях А и В от нуля (меньше 3%) свидетельствуют о верном решения задачи.

Как проверку можно было бы использовать тот факт, что в каждом из сечений, где в балку были врезаны шарниры, совместный угол поворота должен равняться нулю.

Однако выбор другой основной системы и другой методики определения перемещений – предпочтительнее.

4. Подбор двутаврового поперечного сечения.

Сэпюры изгибающих моментов выбираем

Мmax 3,11кН м 3,11 103 Н м.

Определим требуемое значение момента сопротивления сечения балки относительно нейтральной оси х:

55

ЗАДАЧА №2

Статически неопределимая рама нагружена равномерно распределёнными нагрузками q1, q2 , q3, q4 и сосредоточенной силой P . Жёсткость ра-

мы на всех участках постоянна.

Требуется:

1)построить схему основной системы.

2)построить эпюры изгибающих моментов для основной системы от действия заданных нагрузок.

3)составить систему канонических уравнений метода сил и вычислить величины лишних неизвестных.

4)вычислить опорные реакции.

5)построить окончательную эпюру изгибающих моментов.

6)построить эпюры поперечных и продольных сил.

7)произвести деформационную и статическую проверки.

Расчётные схемы выбираются по рис. 38.2, числовые данные берутся из табл. 38.2.

Таблица 38.2

Числовые данные к задаче №2

56