3.2.2. Пересечение поверхности вращения плоскостью.

Пример №2. Построить линию пересечения прямого кругового конуса плоскостью общего положения (рис. 239 и рис. 240), заданной горизонталью и фронталью, лежащими в плоскостях П₁ и П₂ (следами).

В данном примере основание конуса расположено в плоскости П₁, а секущая плоскость общего положения а пересекает все образующие боковой поверхности конуса, поэтому фигурой сечения будет эллипс.

Решение задачи упростится, если секущая плоскость Γ путем замены плоскостей проекции будет преобразована в проецирующую. Для этого фронтальную плоскость проекций П₂ заменим новой плоскостью проекций П₄, перпендикулярной Γ. Новая ось проекций х₁₄ в этом случае должна быть проведена перпендикулярно горизонтальному следу hi. Для построения проекции конуса в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄, как показано на рис. 240, найдена проекция S₄ вершины конуса, расположенная от новой оси х₁₄ на расстоянии Н. Построение новой фронтальной проекции f₄ секущей плоскости выполнено с помощью произвольной точки N (N₁; N₂), взятой на f₂ на высоте Z от плоскости П (см. рис. 240). Соединив точки Р₁₄ и N₄, получим проекцию плоскости α₄.

Г

Рис. 239

Так как секущая плоскость α при замене плоскостей проекций стала фронтально-проецирующей, то эллипс сечения будет проецироваться в отрезок (VI₄; ХII₄), совпадающий с α. Точки VI₄ и ХII₄ являются низшей и высшей точками сечения. Они ограничивают большую ось эллипса, которая проецируется на плоскость П₄ в натуральную величину.

Чтобы построить горизонтальную проекцию сечения, разделим окружность основания конуса на 12 равных частей, соединив точки 1₁; 2₁; 3₁ ... с точкой S₁ и точки 1₄; 2₄; 3₄ ... с точкой S₄ получим проекции образующих конуса в системе плоскостей проекций П₁/П₄. Точки I₄; II₄; III₄ ... являются фронтальными проекциями точек пересечения образующих конуса с плоскостью α.

Рис. 240

Горизонтальные проекции этих точек (I₁; II₁) находятся с помощью проекционных линий связи на соответствующих образующих. Точки III и IX не могут быть найдены этим способом. Для их нахождения используется вспомогательная секущая плоскость уровня γ (γ₄), проходящая через эти точки, которая пересекает конус по окружности (параллели). Строя горизонтальную проекцию этой параллели, находим горизонтальные проекции лежащих на ней точек сечения III₁ и IX₁. Соединив найденные точки n главной кривой, получим горизонтальную проекцию сечения конуса плоскостью α. Для нахождения фронтальных проекций точек сечения (I₂; II₂; III₂ ...) в первоначальной системе П₁/П₂ можно использовать образующие конуса или же метод перемены плоскостей проекций в обратном направлении, т.е. П₄ заменить на П₂. Например, чтобы найти проекцию XII₄, надо высоту этой точки – расстояние от XII₄ до оси Ох₁₄ – отложить от оси Ох₁₂ по линии связи.

Точки VII (VII₁; VII₂) и I (I₁; I₂), являются границами видимости. Они могут быть найдены с помощью вспомогательной секущей фронтальной плоскости уровня β (β₁). Из рис.240 видно, что фронтальные проекции характерных точек VII₂ и I₂ находятся на пересечении очерковых образующих конуса с фронтальной проекцией линии пересечения (f₂) плоскостей β и α.

Для построения истинного вида эллипса сечения использована вторая замена плоскостей проекций.