5.Многогранники. Позиционные задачи на многогранники

67. Построить линию пересечения призмы фронтально-проецирующей плоскостью α₂ (рис. 148).

Рис. 148

68. Построить линию пересечения пирамиды плоскостью, заданной горизонталью h и фронталью f (рис. 149).

Рис. 149

69. Построить точки пересечения прямой EF с поверхностью треугольной пирамиды DABC (рис. 150).

Рис. 150

Решение

Так как прямая EF является горизонтально-проецирующей прямой, то проведем через неё горизонтально-проецирующую плоскость α (α₁). Пусть для простоты она пройдет через вершину D (D₁). Далее строим линию пересечения этой плоскости с пирамидой (треугольник D₂ - 1₂ - 2₂ на фронтальной проекции).

Точки пересечения I₂, II₂ фронтальной проекции E₂F₂ прямой с построенным сечением D₂ - 1₂ - 2₂ и будут являться искомыми.

70. Найти точки пересечения прямых a и b с поверхностью призмы. Определить видимые части данных прямых (рис. 151).

Рис. 151

71. Определить точки пересечения прямой m с данной пирамидой. Определить видимость проекций (рис. 152).

Рис. 152

72. Построить линию пересечения пирамиды с прямой четырехугольной призмой (рис. 153).

Решение

Алгоритм построения состоит из следующих операций: Определяем видимость каждого многогранника независимо один от другого. На фронтальной проекции ребро КК' призмы невидимо. На П₁ невидимо ребро D₁A₁ пирамиды. Определяем это методом конкурирующих точек.

Устанавливаем те рёбра каждого многогранника, которые пересекают грани другого. Это рёбра ЕЕ' и РР' призмы и два ребра DA и DB пирамиды.

Найдём точки пересечения 7, 6 и 4, 3 ребер ЕЕ' и РР' с поверхностью пирамиды. Так как призма - прямая и грани её – горизонтально-проецирующие плоскости, то точки пересечения рёбер пирамиды с призмой находятся на пересечении горизонтальных проекций рёбер D₁A₁, D₁B₁ с горизонтальной проекцией этих плоскостей (это точки 2₁ и 5₁, 1₁ и 8₁). С помощью линий связи находим фронтальные проекции точек 2₂ и 5₂, 1₂ и 8₂ на фронтальных проекциях рёбер.

Соединяем найденные точки отрезками прямых. Соединяем между собой только такие две точки, которые лежат в одной грани призмы и в одной и той же грани пирамиды. Получаем замкнутую пространственную ломаную линию 1₂-4₂-7₂-8₂-6₂-5₂-3₂-2₂-1₂ на фронтальной проекции. Окончательно определяем видимость призмы и пирамиды.

Рис. 153

73. Построить проекции линии пересечения поверхностей данных многогранников. Показать видимость проекции (Рис. 154).

Рис. 154

6. Кривые поверхности.

   1. Пересечение кривой поверхности плоскостью.

74. Построить линию пересечения конуса вращения фронтально- проецирующей плоскостью α (α₂) (рис. 155).

Рис. 155

Решение

Так как дана плоскость фронтально-проецирующая, то фронтальная проекция линии пересечения конуса с плоскостью будет представлять собой отрезок А₂В₂. Горизонтальная проекция линии пересечения в нашем примере будет являться эллипсом. Точки этого эллипса строятся как горизонтальные проекции (C₁, C₁') точек, лежащих на поверхности конуса вращения.

75. Построить проекции линии пересечения данных поверхностей проецирующей плоскостью (рис. 156 - 158).

Рис. 156 Рис. 157 Рис. 158

76. Построить проекции линии пересечения данных поверхностей плоскостью частного положения (рис. 159 - 160).

Рис. 159 Рис. 160

77. Построить сечение сферы плоскостью, заданной прямой а (а₁, а₂) и точкой А (А₁, А₂), принадлежащей сфере (рис. 161).

Рис. 161

78. Построить линию пересечения конуса вращения плоскостью общего положения (рис. 162).

Рис. 162

Решение

Пусть плоскость общего положения задана двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС, одна из которых (АВ) является горизонтальной. Преобразуем данные фигуры так, чтобы плоскость общего положения стала бы проецирующей. Это выполнено с помощью способа замены плоскостей проекций П₂ на П₄. Новая ось X₁₄A₁B₁. Найдено новое положение конуса и плоскости путём откладывания высот точек от новой оси. Так A₄A₁₄ = A₂A₁₂. Проекция линии пересечения на плоскости П₂ строится путём откладывания от оси Х₁₂ на линиях связи отрезков высот, отмеренных на плоскости П₄. Например отрезок |5₂5₁₂| = |5₄5₁₄|. На фронтальной плоскости проекций П₂ точки 5₂, 6₂ являются экстремальными точками. Точки 2₂ и 1₂ являются точками видимости.