7.7. Пересечение прямой линии с кривой поверхностью.

Задачу на построение точек пересечения прямой линии с кривой поверхностью решают аналогично решению первой основной позиционной задачи. Рассмотрим ее на конкретном примере, когда в качестве поверхности взята поверхность тора (рис. 67).

Рис. 67

Через данную прямую l проведем вспомогательную плоскостьГ, которая в большинстве случаев берется проецирующей. Заключаем прямуюlво фронтально – проецирующую плоскостьГ (Г2), фронтальная проекция которой совпадает сl2,l2 Г2. Построим линию пересечения данной поверхности и вспомогательной плоскости Г. ПлоскостьГ(Г2) пересекает поверхность по кривой. Так как, тоm2 = Г2. Горизонтальную проекциюm1линии пересеченияmстроим по точкам из условия принадлежности их поверхности тора. Находим точки пересечения I, || данной прямойlс построенной кривойm.

4. Определим видимость. На горизонтальной проекции точки I₁иII₁– видимые, так как лежат на видимой части поверхности. На фронтальной проекции точкаI₂ – видимая, а точкаII₂– невидимая.

Данное решение является типовым. Однако в каждом конкретном случае для упрощения построений целесообразно использовать другие виды вспомогательных плоскостей, а также преобразования комплексного чертежа.

7.8. Взаимное пересечение кривых поверхностей.

Две кривые поверхности пересекаются по пространственной кривой линии, которая строится по отдельным точкам. Основной метод построения линии пересечения состоит в применении вспомогательных секущих поверхностей – посредников Ф.

Поверхности Фвыбираются так, чтобы они пересекали данные поверхности по графически простым линиям (прямым, окружностям). Точки пересечения этих линий и будут принадлежать искомой линии пересечения поверхностей (рис. 68).

Пространственный алгоритм состоит из следующих операций:

1. Выбираем Ф

2. Ф Ф^’ = l^’

3. Ф Ф” = l”

4. l’ l” = I, II

5. 

Рис. 68

В зависимости от вида секущих – поверхностей-посредников будем рассматривать два способа построения линии пересечения поверхностей:

1. Способ вспомогательных секущих плоскостей;

2. Способ вспомогательных секущих сфер.

7.8.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей.

Метод вспомогательных секущих плоскостей применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения с параллельными или скрещивающимися осями, для построения линии пересечения кривой поверхности и многогранников, двух конических или цилиндрических поверхностей общего вида.

Построим линию пересечения конуса вращения и сферы (рис. 69).

Рис. 69

Построение линии пересечения начинаем с нахождения опорных точек. Экстремальные (высшая и низшая) точки I,IIопределяются проведением общей плоскости симметрииΔ. Точками видимости наП2 будут эти же точки. Для нахождения точек видимости наП1проводим вспомогательную горизон-тальную плоскость уровня через центр сферы. ПлоскостьΣ пересечет сферу по экватору, проекция которого наП1 будет очерковой, а конус – по окружности. Точки пересечения этих окружностей определят точки видимости наП1.

Промежуточные точки линии пересечения определяются проведением горизонтальных плоскостей уровня Γ. Они пересекают обе заданные поверхности по окружностям, точки пересечения которых и будут искомыми. Итак, взяв как угодно много плоскостей, получим как угодно много точек, которые определят характер кривой линии пересечения. НаП₁ проекция дугиС₂А₂D₂линии пересечения видимая, а проекция дугиC₂В₂D₂невидимая. НаП₂видимая и невидимая ветви проекции линии пересечения совпадают, так как общая плоскость симметрии данных поверхностей параллельнаП₂.