7.2. Перпендикулярность прямых.

90. Построить горизонтальную проекцию равнобедренного треугольника АВС (А₁В₁С₁, А₂В₂С₂), основанием которого служил бы отрезок АВ (А₁В₁, А₂В₂), параллельный плоскости проекции П₁ (рис. 203), если дана его фронтальная проекция А₂В₂С₂.

Рис. 203

91. Достроить проекции прямоугольного треугольника АВС по заданной гипотенузе АВ, если известно, что вершина С его принадлежит прямой уровня h (рис. 204).

Рис. 204

92. Построить следы плоскости, заданной линией U наибольшего уклона (ската) (рис. 205).

Рис. 205

93. Шар с центром О катится по наклонному щиту ABCD. Определить положение центра шара в момент, когда он коснется плоскости земли (рис. 206).

Рис. 206

7.3. Перпендикулярность прямой и плоскости.

94. Провести через точку А перпендикуляр к плоскости, заданной прямыми АВ и АС (рис. 207).

Рис. 207

Решение

Известно, что горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция к фронтальной проекции фронтали плоскости. На чертеже (рис. 207) АВ является фронталью, а АС – горизонталью. Поэтому проводим через точку A₁ прямую n₁ A₁C₁, а через А₂ – прямую n₂ А₂В₂. Прямая n (n₁, n₂) – искомый перпендикуляр к плоскости.

95. Провести через вершину А треугольника ABC перпендикуляр к его плоскости (рис. 208).

Рис. 208

Решение. Проведём в плоскости треугольника ABC горизонталь h (h₁,h₂) через точку A (A₁, A₂) и фрональ f (f₁, f₂) через точку C (C₁, C₂). Далее через точку А проведём n₁h₁ и n₂f₂.

96. В точке А треугольника ABC восставить к его плоскости перпендикуляр и отложить на нем заданную величину h.

Решение

Восставляем в точке А перпендикуляр к плоскости ABC и откладываем на нем заданную величину h.

97. Определить расстояние от точки D до плоскости ABC (рис. 209).

Натуральная

Величина DK

Рис. 209

Решение

Рассмотрим поэтапное решение этой комплексной задачи. Чтобы найти расстояние от точки D до плоскости ABC, необходимо:

1. Опустить из точки D на плоскость ABC перпендикуляр n. Так как n₁ h₁, а n₂ f₂, то прежде всего проводим в плоскости ABC линии уровня: горизонталь h (h₁, h₂) и фронталь f (f₁, f₂) (см. рис. 208).

2. Далее (рис. 209, б) из точки D₂ проводим n₂f₂ и из точки D₁ проводим n₁h₁.

3. Находим точку пересечения K (K₁,K₂) перпендикуляра n с плоскостью ABC и определяем видимость (рис. 209, в).

4. Определяем истинную величину отрезка DК способом прямоугольного треугольника (см. рис. 201).

98. Через точку А провести перпендикуляр к плоскости, заданной прямыми АВ и АС и отложить на нем отрезок, равный l (рис. 210).

Рис. 210

99. Построить проекции пирамиды, основанием которой является треугольник ABC, а ребро SA определяет высоту h пирамиды (рис. 211).

Решение

(см. задачи 95 и 96). Найдя проекции S₁, S₂ вершины S пирамиды, соединяем их с проекциями точек А, В, С.

Рис. 211

100. Построить точку, симметричную данной точке М относительно плоскости треугольника АВС (рис. 212).

Рис. 212

101. Через точку А (А₁, А₂) провести плоскость, перпендикулярную прямой: а) h (h₁, h₂); б) f (f₁, f₂); в) a (a₁, a₂) (рис. 213).

Рис. 213

102. Найти расстояние от точки А до плоскости SCD пирамиды SBCD (рис. 214).

Рис. 214

103. Построить геометрическое место точек, удаленных от АВС на расстояние l (рис. 215).

Рис. 215

104. На прямой CD найти точку, равноудаленную от концов отрезка АВ.

105. На прямой k найти точку, отстоящую от плоскости АВС на расстоянии l = 40 мм.

106. Построить проекции прямой треугольной призмы, если известны ее основание АВС и ребро h = 60 мм.

107. Построить проекции пирамиды, если известно ее основание АВС и высота h = 60 мм, опущенная в центр тяжести этого треугольника.

108. Через точку А (3;4;5) провести прямую, проходящую параллельно плоскости XОZ и перпендикулярную прямой АВ, где В (-3;-4;-5).