8.3.5.Построение развертки методом раскатки.

Этот метод удобно применять в том случае, когда основания призмы или цилиндрической поверхности расположены в плоскостях уровня, а боковые ребра (или образующие) являются линиями уровня. Рассмотрим этот способ на примере построения развертки поверхности эллиптического цилиндра (рис. 83).

Впишем в цилиндрическую поверхность призму путем деления окружности основания на некоторое число равных частей и будем строить развертку многоугольной призмы. Допустим, что некоторая фронтальная плоскость проходит через ребро АА^’. Совместим с этой плоскостью боковую граньАА^’ВВ^’, вращая ее вокруг фронталиАА^’. При вращении грани фронтальные проекции точекВиВ^’(В₂иВ^’₂) перемещаются на эпюре по перпендикулярам кА₂А^’₂. Так как все стороны граниАА^’ВВ^’спроецируются наП₂в истинную величину, то вершиныВиВ^’окажутся удаленными от неподвижных точек оси вращенияАиА^’ на расстоянии, равном истинной величинеАВилиА^’B^’. Но отрезкиАВиА^’B^’проецируются наП₁в натуральную величину.

Рис. 83

Таким образом, засекая перпендикуляры, по которым перемещаются точки ВиВ^’дугой радиуса, равного длинеА₁В₁илиА^’₁B^’₁, получим искомые точки разверткиВ₀,В^’₀. Далее, аналогичными построениями (вращением вокруг ребраВВ^’) совмещаем с фронтальной плоскостью граньВСС^’B^’ и т.д. (см рис. 83).

8.3.6. Применение разверток в технике.

Развертки поверхностей широко применяются в технике. Многие технические конструкции выполняются из листового материала. Заготовки этих конструкций представляют собой их развёртки. Они применяются в автомобильной, авиа- и судостроительной промышленности, химической, легкой промышленности и т.д., при изготовлении воздуховодов для промышленной вентиляции в виде переходов с круглого сечения одного диаметра на круглое сечение другого диаметра, с круглого на прямоугольное сечение, бункеров и т.д.

Вопросы для самопроверки.

1. Какие задачи называются метрическими?

2. В чем состоит способ прямоугольного треугольника для определения натуральной величины отрезка прямой?

3. Когда прямой угол проецируется без искажения:

а) на горизонтальную плоскость проекций;

б) на фронтальную плоскость проекций?

4. Сформулируйте условие перпендикулярности прямой линии и плоскости на чертеже Монжа.

5. В чем сущность построения развертки многогранников?

6. Как строится приближенная развертка наклонного конуса?

7. В чем сущность построения условной развертки неразвертывающейся поверхности вращения (на примере тора или сферы)?

9. Аксонометрические проекции.

9.1. Основные понятия и определения.

Для получения наглядного изображения фигуры или объекта в системе координат OXYZслужат аксонометрические проекции. Возьмём в пространстве некоторую прямоугольную систему осей координатOXYZ и произвольную точкуА. Опустим из точкиАперпендикуляр на плоскостьXOY, получим горизонтальную проекциюA₁точкиА. Аналогично можно найти проекции точкиАна плоскостиXOZиYOZ. Далее возьмём в пространстве некоторую плоскостьП’и направлениеS и будем проецировать точкуА вместе с системой прямоугольных координат, к которой она отнесена в пространстве, параллельно некоторому направлениюSна плоскостьП’.

При этом точка Аспроецируется вА’,А₁ – вА’₁, осьОХ – в осьО’X’и т.д. (рис. 84). Натуральным масштабаме_x,е_у,е_z, которые берутся равными, будут соответствовать отрезкие’_х,е’_у,е’_z, которые, вообще говоря, не равны между собой.

Рис. 84

Так как при параллельном проецировании сохраняется параллельность прямых, то получим, что A’A’₁ || О’Z’,А₁’А’₁₂ || О’Y’и т.д. Проекции всех геометрических элементов на плоскостьП’называются аксонометрическими. Например,А’– аксонометрическая проекция точкиА,A₁’– аксонометрическая проекция точкиА₁, которая в свою очередь, является горизонтальной проекцией точкиАна плоскостьXOY. ПоэтомуA₁’ называется вторичной проекцией точкиА.

О’X’Y’Z’– аксонометрическая система координат, проекции единичных отрезков на осиО’Х’,О’У’,O’Z’, обозначенные черезе’_х,е’_у,е’_z– аксонометрические масштабы и т.д.

Отношение аксонометрических масштабов к натуральным называется показателями искажения.

– показатель искажения по осиOX;

– показатель искажения по осиOY;

– показатель искажения по осиOZ.

В зависимости от показателей искажения различают три вида аксонометрических проекций: изометрическая, если k = m = n, диметрическая, если два показателя искажения равны, например,k = m  n; триметрическая проекции, еслиk  m  n.

В зависимости от направления проецирования рассматривают два вида аксонометрических проекций: если направление проецированияS перпендикулярно плоскостиП’, то такая проекция называется прямоугольной, если не перпендикулярноП’, то аксонометрическая проекция называется косоугольной.