- •М.М. Харах
- •Предисловие
- •Условные обозначения
- •Введение.
- •Предмет начертательной геометрии.
- •Центральная и параллельная проекции.
- •Свойства параллельной проекции.
- •Комплексный чертеж точки, прямой линии и плоской фигуры.
- •Ортогональное проецирование. Эпюр Монжа.
- •Связь между прямоугольными проекциями точки и ее ортогональными координатами.
- •Прямая линия. Плоскости.
- •Задание и изображение прямой.
- •Задание и изображение плоскости.
- •Прямые и плоскости частного положения.
- •Проецирующие прямая и плоскость.
- •Прямые и плоскости уровня.
- •Многогранники.
- •Основные понятия и определения. Изображение многогранников на чертеже.
- •Кривые линии и их проекционные свойства.
- •Основные понятия и определения.
- •Пространственные кривые линии.
- •Цилиндрическая винтовая линия.
- •Обводы.
- •Алгоритм построения обвода из дуг окружностей.
- •Алгоритм построения обводов из дуг кривых второго порядка.
- •Кривые поверхности. Их образование и задание на чертеже. Основные понятия и определения.
- •Очертание поверхности.
- •Систематизация поверхностей.
- •Поверхности вращения.
- •Построение главного медиана поверхности вращения.
- •Поверхности вращения второго порядка.
- •Развертывающиеся линейчатые поверхности.
- •Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма.
- •Винтовые поверхности.
- •Прямой геликоид.
- •Наклонный геликоид.
- •Способы преобразования комплексного чертежа.
- •Способ замены плоскостей проекций.
- •Вращение.
- •Вращение вокруг проецирующей прямой.
- •Вращение вокруг линии уровня.
- •Вращение без указания оси вращения. (Способ плоскопараллельного движения).
- •Позиционные задачи.
- •Первая основная позиционная задача.
- •Пересечение двух плоскостей.
- •Пересечение многогранника плоскостью.
- •Пересечение прямой с поверхностью многогранника.
- •Взаимное пересечение многогранников.
- •7.6. Пересечение кривой поверхности плоскостью.
- •7.7. Пересечение прямой линии с кривой поверхностью.
- •7.8. Взаимное пересечение кривых поверхностей.
- •7.8.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей.
- •7.8.2. Способ вспомогательных секущих сфер.
- •7.8.2.1. Способ концентрических сфер.
- •7.8.2.2. Способ эксцентрических сфер.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Метрические задачи.
- •Определение натуральной величины отрезка прямой способом прямоугольного треугольника.
- •Перпендикулярность двух прямых, прямой и плоскости.
- •Развертки поверхностей.
- •Развертки многогранников.
- •8.3.2. Построение приближенных разверток развертывающихся поверхностей.
- •8.3.3. Условные развертки неразвертывающихся поверхностей.
- •8.3.4. Построение развертки методом нормального сечения.
- •8.3.5.Построение развертки методом раскатки.
- •8.3.6. Применение разверток в технике.
- •Вопросы для самопроверки.
- •9. Аксонометрические проекции.
- •9.1. Основные понятия и определения.
- •9.2. Основная теорема аксонометрии (теорема Польке).
- •9.3. Прямоугольная аксонометрическая проекция и ее свойства.
- •9.4. Стандартные аксонометрические системы.
- •9.5. Прямоугольная диметрия.
- •9.6. Изображение окружности в ортогональной аксонометрии.
- •9.7.Косоугольные аксонометрические проекции.
- •9.8. Построение аксонометрической проекции фигуры, заданной ее комплексным чертежом.
- •Приложение I. Задачи по начертательной геометрии.
- •1. Задачи к теме: «Точка, прямая, плоскость»
- •1.1. Центральные и параллельные проекции.
- •1.2. Прямоугольные проекции.
- •1.2.1. Точка на чертеже Монжа.
- •1.2.2. Прямая линия.
- •1.2.3. Плоскость
- •2. Упражнения и задачи к теме: «Кривые поверхности. Точка на поверхности»
- •3. Задачи к теме: «Способы преобразования»
- •3.1. Способ замены плоскостей проекций.
- •3.2 Вращение вокруг проецирующей прямой
- •3.3 Вращение вокруг линии уровня.
- •3.4 Плоскопараллельное движение
- •3.5 Применение способов преобразования комплексного чертежа
- •4. Позиционные задачи
- •5.Многогранники. Позиционные задачи на многогранники
- •Кривые поверхности.
- •6.2. Пересечение кривой поверхности с прямой линией.
- •6.3. Взаимное пересечение кривых поверхностей.
- •6.3.1. Способ секущих плоскостей.
- •6.3.2. Способ концентрических сфер.
- •6.3.3. Способ эксцентрических сфер.
- •7. Метрические задачи
- •7.1. Определение натуральной величины отрезка прямой.
- •7.2. Перпендикулярность прямых.
- •7.3. Перпендикулярность прямой и плоскости.
- •7.4.Развертки поверхностей
- •8. Задачи к теме: «Аксонометрические проекции»
- •Приложение II Графические задания.
- •1. Методические указания по выполнению заданий.
- •1.1. Общие требования.
- •1.2. Порядок сдачи заданий.
- •2. Задание 1 (эпюр №1). Тема: «Точка, прямая, плоскость. Позиционные и метрические задачи».
- •2.1. Указания по выполнению задания.
- •2.1.1. План решения задачи №1.
- •2.1.2. План решения задачи №2.
- •2.1.3. План решения задачи №3.
- •2.2. Варианты задания (эпюр №1).
- •2.3. Контрольные вопросы (эпюр №1).
- •3. Задание 2 (эпюр №2).
- •3.2. План решения задачи №1.
- •3.2.1. Сечение многогранника плоскостью.
- •3.2.2. Пересечение поверхности вращения плоскостью.
- •3.2.3. Построение полной развертки усеченной части конуса.
- •3.2.4. Варианты заданий (эпюр №2).
- •3.2.5. Образец выполнения эпюра №2.
- •3.2.6. Контрольные вопросы (эпюр №2).
- •4. Задание 3 (эпюр №3). Тема: «Взаимное пересечение кривых поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей и вспомогательных секущих сфер».
- •4.1. Указания по выполнению задания.
- •4.1.1. Указания к оформлению.
- •4.2. Способ секущих плоскостей.
- •4.3. Следствие из вспомогательной теоремы.
- •4.4. Способ вспомогательных секущих сфер.
- •Варианты заданий на способ
- •Приложение III Тесты Тест № 1: «Комплексный чертеж точки»
- •Тест №2: «Комплексный чертеж прямых общего и частного положения»
- •Тест №3: «Взаимное положение двух прямых»
- •Тест №4: «Комплексный чертеж плоскости общего и частного положения»
- •Тест №5: «Многогранники»
- •Тест №6: «Многогранники. Точка и прямая на поверхности»
- •Тест №7: «Кривые поверхности»
- •Тест №8: «Точка на поверхности»
- •Тест №9: «Способ замены плоскостей проекций»
- •Тест №10: «Способ вращения вокруг проецирующей прямой»
- •1 2 3
- •Тест №12: «Пересечение многогранника плоскостью»
- •Тест №13: «Пересечение многогранника с прямой линией»
- •Тесть №14: «Пересечение многогранников»
- •1. Четыре 2. Шесть 3. Два 4. Пять
- •Тест №15: «Пересечение кривой поверхности плоскостью»
- •Тест №16: «Пересечение кривой поверхности с прямой линией»
- •Тест №17: «Взаимное пересечение кривых поверхностей»
- •Тест №18: «Способ вспомогательных секущих сфер»
- •Тест №19: «Метрические задачи на прямую»
- •Тест №20: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
- •Тест №21: «Развертки многогранников»
- •Тест №22: «Развертки кривых поверхностей»
- •Тест №23: «Аксонометрические проекции»
- •Тест №24: «Аксонометрия точки и прямой»
- •Ответы к тестам.
- •Вопросы к экзамену по дисциплине «Начертательная геометрия»
- •Список используемой литературы
6.2. Пересечение кривой поверхности с прямой линией.
79. Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью (рис. 162 - 165).
Рис. 162 Рис. 163
Рис. 164 Рис. 165
6.3. Взаимное пересечение кривых поверхностей.
6.3.1. Способ секущих плоскостей.
80. Построить линию пересечения цилиндра вращения и конуса вращения (рис. 166).
Рис. 166
Решение
Так как у заданных поверхностей вращения оси являются скрещивающимися прямыми, то применяем способ секущих плоскостей. Выбираем такие плоскости, которые бы пересекали две данные поверхности по прямым или по окружностям. Такими плоскостями являются горизонтальные плоскости уровня α (α2). Они будут пересекать конус по окружностям, а цилиндр – по прямолинейным образующим. На пересечении этих линий и будут находиться искомые точки, принадлежащие линии пересечения. Проводим их от точки 32 до точки 82. Так как цилиндр является фронтально-проецирующим, то эту задачу можно рассматривать как задачу на инцидентность. А именно, находим горизонтальные проекции точек 11, 21, 31 и т.д., принадлежащих поверхности конуса вращения, если известны их фронтальные проекции 12, 22, 32 и т.д.
81. Построить линию пересечения цилиндра вращения и наклонного конуса с круговым основанием (рис. 167).
Рис. 167
Решение
Так как ось цилиндра перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, то фронтальная проекция линии пересечения данных поверхностей является дугами окружности - основания цилиндра. Отметим целый ряд точек: опорные - 62 и 132, 82, случайные 22, 42, 52, 92 и т.д. Найдя их горизонтальные проекции (из условия принадлежности их поверхности конуса) и соединив их плавными кривыми, получим горизонтальную проекцию линии пересечения. Следует отметить, что горизонтальные проекции точек можно построить путем проведения через их фронтальные проекции 22, 32 горизонтальных плоскостей уровня α (α2), (2) и т.д. и проведения затем на П1 окружностей с центрами на оси конуса, или путем проведения через точки 22, 32 и вершину конуса S2 фронтальных проекций прямолинейных образующих наклонного конуса (см. нахождение точек 11, 21, 61, 71 и т д.) (рис. 167).
Видимыми на П1 будут те точки, которые расположены на видимой части поверхности цилиндра и одновременно на видимой части поверхности наклонного конуса. Их соединим между собой сплошной толстой линией.
Примечание.
Все точки цилиндра вращения, расположенные выше горизонтальной плоскости уровня, проходящей через ось цилиндра, на П1 будут видимые. Все точки наклонного конуса, лежащие на видимых образующих на П1, также будут видимые.
82. Построить проекции линии пересечения данных поверхностей (рис. 168 -177).
Рис. 168 Рис.169
Рис. 170 Рис. 171
Рис. 172 Рис. 173
Рис. 174 Рис. 175
Рис. 176 Рис. 177
83. Построить линию пересечения цилиндра вращения и четверти кольца (рис. 178).
Рис. 178
Решение
Так как в этой задаче цилиндр вращения является фронтально- проецирующей поверхностью, то линия пересечения на П2 будет совпадать с окружностью – фронтальной проекцией цилиндра. Горизонтальная проекция линии пересечения найдется из условия принадлежности точек 1(12); 2(22); 3(32) и т.д. поверхности открытого тора. Проводя на П2 через указанные точки круговые образующие и найдя их на П1 как отрезки прямых, параллельные оси ОХ, мы с помощью линий связи строим на них горизонтальные проекции этих точек. Вначале находим опорные точки: экстремальные на П2 точки 32 и 72, точки видимости на П1 21 и 41, а затем несколько случайных точек 52, 62 и т.д. На горизонтальной проекции точки соединяем в той же последовательности, в какой они соединены на окружности на фронтальной проекции.
Видимость точек на П1 также определяем с учетом видимости образующих цилиндра и тора, на которых они лежат.