2.2. Аффинные задачи на плоскости и в пространстве

2.2.1. Координаты вектора, заданного координатами его концов.

На плоскости Дано: R = , А(х1, у1), В(х2, у2). Найти координаты вектора (рис.22). Рис. 22 Решение. А(х1, у1)  , В(х2, у2)  . Так как , то.

В пространстве Дано: R = , А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2). Найти координаты вектора (рис. 221). Рис. 221 Решение. А(х1, у1, z1)  , В(х2, у2, z2)  . Так как , то.

2. 2.2. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

Пусть даны координаты двух точек А и В. Найдём координаты такой точки С, что ().

Замечание. Из условия () следует, что точки А, В, С лежат на одной прямой. Если   0, то точка С лежит между точками А и В. Если   0, но  1, то точка С лежит вне отрезка АВ со стороны точки В. Если   0, но  1, то точка С лежит вне отрезка АВ со стороны точки А.

Если  = 1, то С – середина отрезка АВ. Очевидно, всегда    1. Решение. Приведём решение в случае плоскости. В случае пространства

решение проведите самостоятельно.

Пусть С(х, у, z). Тогда ,. Перепишем равенство () в координатах. Получим

х  х₁ = (х₂ х), у  у₁ = (у₂  у). Отсюда

2.3. Метрические задачи на плоскости и в пространстве .

Замечание. Метрические задачи можно решать в любой АСК, но рациональные вычислительные формулы получаются в ПДСК.

2.3.1. Расстояние между точками.

На плоскости Дано: ,А(х1, у1), В(х2, у2). Найти АВ. Решение. АВ = . Так каки базисортонормированный, то.

В пространстве Дано:,А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2). Найти АВ. Решение. АВ = . Так каки базисортонормированный, то .

2.3.2. Угол, заданный тремя точками.

Приведём решение этой задачи в случае пространства. Для плоскости решение проведите самостоятельно.

Дано: ,А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3). Найти ВАС. Решение. . Перепишем в координатах:

2.4. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве

Пусть R = {O, B} и R¹ = {O¹, B¹} два аффинных репера, где В и В¹ соответствующие базисы. Пусть Т – матрица перехода от базиса В к базису В¹ и (х⁰_к) – столбец координат точки О¹ в репере R. Пусть М – произвольная точка, (х_к) и (х¹_к) – столбцы её координат в реперах R и R¹ соответственно. Тогда столбец координат вектора в базисеВ будет (х_к  х⁰_к), а в базисе В¹ – (х¹_к). Используя формулу связи координат вектора в разных базисах, получим

(х_к  х⁰_к) = Т(х_к¹), или (х_к) = Т(х_к¹) + (х⁰_к).

Если эту формулу переписать в координатах (на плоскости координаты точки обозначим х, у, в пространстве х, у, z) , получим

на плоскости

в пространстве

Так как матрица перехода всегда невырожденная, то определители этих формул отличны от нуля. Обратно, формулы () или () с определителем отличным от нуля всегда задают преобразование аффинных координат.

Задача 12. В параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ точки М, Р, К заданы равенствами ,,. Запишите формулы преобразования координат, если системы координат заданы

заданы реперами R = {A, , , } и R1 = {М, , , }, где ,,,,,. Найдите «новые» координаты точкиВ и «старые» координаты точки К. Решение. Для решения первой части задачи нужно найти «старые» координаты точки М и векторов , , . Так как , тоМ(1, 0, )R. Для новых

Рис. 23

координатных векторов:

, ,. Получим следующие формулы преобразования координат

«Новые» координаты точки К равны (0, 0, 1). Подставив их в полученные формулы вместо х¹, у¹, z¹, получим х = 0, у = , z =. Итак, «старые» координаты точки К равны (0, , ). «Старые» координаты точки В(0, 1, 0). Подставив их в найденные формулы вместо x, y, z, получим «новые» координаты x¹ = , у¹ = , z¹ = .