Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
АНАЛИТ. ГЕОМЕТРИЯ (ПМИ) (1).doc
Скачиваний:
145
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
29.99 Mб
Скачать

3.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями

Дано: R = , l1 : A1x + B1y + C1 = 0, l2 : A2x + B2y + C2 = 0.

Найти один из углов .

Замечание. Очевидно, достаточно найти только один из углов.

Решение: Первый способ. Из уравнений l1 и l2 следует, что вектор параллелен прямой l1 и вектор параллелен прямойl2. Следовательно, один из углов между l1 и l2 равен углу .

Рис 38

Итак, . (31)

(Вывод формулы (31) можно проводить в любой аффинной системе координат). Воспользовавшись тем, что данная система координат прямоугольная, перепишем формулу (31) в координатах. Получим . Окончательно

. (32)

Второй способ. Из уравнений l1 и l2 следует, что вектор перпендикулярен прямойl1 и вектор перпендикулярен прямойl2. Из свойства углов со взаимно перпендикулярными сторонами следует, что один из углов между l1 и l2 равен углу . Итак,

(33)

Рис. 39

Переписав полученную формулу в координатах, получим

. (32)

Замечание. Формулу (32) можно использовать только в том случае, когда прямые заданы общими уравнениями в прямоугольной системе координат.

Следствие. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда А1А2 + В1В2 = 0 (33).

Задача 12. Дано: R = , , ,,l1 : 3х  4у + 11 = 0, l2 : 5х + у + 8 = 0.

Найти .

Решение. Используем формулу (31). В нашем случае =,. Следовательно,

;

, .

Подставив в формулу (31), получим .

3.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами

Дано: R = ,l1 : у = к1 х + в1, l2 : у = к2 х + в2.

Найти ориентированный угол, на который нужно повернуть l1, чтобы она стала параллельной l2.

Решение. Из уравнений l1 и l2 следует, что ,, где1 и 2 – углы наклона прямых l1 и l2 к оси (Ох). Обозначим ориентированный угол между l1 и l2. По свойству внешнего угла треугольника получим = 2 1. Отсюда

.

Итак, (34)

Рис. 40

Следствие. Две наклонные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда (35)

Задача. Дано: R = ,l1 : 3х + 4у +12 = 0, l2 : 4х  7у 1 = 0.

Найти тангенс угла между прямыми l1 и l2.

Решение. Используем формулу (34). Для этого нужно найти угловые коэффициенты данных прямых. Разрешая уравнения прямых относительно у, получим, что ,. Следовательно,

Задача 13. Дано: R = ,l1 : 3х + 4у +12 = 0, l2 : 4х + 3у  24 = 0.

Найти уравнения биссектрис углов, образованных l1 и l2.

Решение. Если l3 и l4 – биссектрисы данных углов, то каждая из них проходит через точку А = l1 l2. Координаты точки А найдём, решая систему уравнений Получим А().

По определению биссектрисы = и = . Обозначим через к угловые коэффициенты l3 и l4 . Используя формулу (34), получим

.

Так как и, то, или. Отсюда. Следовательно,,. Используя уравнение (27), получим

l3 : (у + ) = 1(х ). После упрощенияl3 : х у  36 =0.

Аналогично, l4 : (у + ) =1(х ). После упрощенияl4 : 7х + 7у  12 =0.