- •Аналитическая геометрия
- •I. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Геометрические векторы
- •1.2. Сложение векторов
- •1.3. Умножение вектора на действительное число
- •1.4. Коллинеарные векторы
- •1.5. Компланарные векторы
- •1.6. Проекция на прямую параллельно данной плоскости
- •1.7. Проекция вектора на ось
- •1.8. Ортогональная проекция вектора на ось
- •1.9. Скалярное произведение векторов
- •1.10. Векторное произведение векторов
- •1.15. Смешанное произведение векторов
- •II. Метод координат на плоскости и в пространстве
- •2.1 Введение системы аффинных и прямоугольных координат на плоскости и в пространстве
- •2.2. Аффинные задачи на плоскости и в пространстве
- •2.2.1. Координаты вектора, заданного координатами его концов.
- •2.3. Метрические задачи на плоскости и в пространстве .
- •2.3.1. Расстояние между точками.
- •2.3.2. Угол, заданный тремя точками.
- •2.4. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве
- •2.5. Преобразование прямоугольных координат на плоскости
- •2.6. Полярные координаты на плоскости
- •2.7. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве
- •III. Образы первой ступени
- •3.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат
- •3.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве
- •3.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору
- •3.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •3.2.3. Общие уравнения прямой
- •I.Общее уравнение прямой на плоскости
- •2. Общие уравнения прямой в пространстве
- •3.2.4. Исследование взаимного расположения прямых
- •3.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
- •3.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •3.3.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку под данным углом к оси (Ох)
- •3.3.3. Нормальное уравнение прямой
- •3.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями
- •3.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами
- •3.3.6. Расстояние от точки до прямой
- •3.4. Пучок прямых на плоскости
- •3.6. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.6.1. Плоскость в аффинной системе координат
- •3.6.1.1. Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам
- •3.6.1.2.. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки
- •3.6.1.3. Общее уравнение плоскости
- •3.6.1.4. Исследование взаимного расположения двух плоскостей
- •3.6.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
- •3.6.2.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •3.6.2.2. Угол между двумя плоскостями
- •3.6.2.3. Угол между прямой и плоскостью
- •3.6.2.4. Расстояние от точки до плоскости
- •3.6.2.5. Расстояние от точки до прямой
- •3.6.2.6. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •IV. Образы второго порядка
- •4.1. Элементарная теория линий второго порядка
- •4.1.1. Окружность
- •4.1.2. Эллипс
- •4.1.3. Гипербола
- •4.1.4. Парабола
- •4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах
- •4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка
- •4.2.1. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат
- •4.2.2. Упрощение уравнения линии второго порядка. Метрическая классификация линий второго порядка
- •4.3. Поверхности
- •4.3.1. Цилиндрические поверхности
- •4.3.2. Конические поверхности
- •4.3.3. Поверхности вращения
- •4.3.4. Эллипсоид
- •4.3.5. Однополостный гиперболоид
- •4.3.6. Двуполостный гиперболоид
- •4.3.7. Эллиптический параболоид
- •4.3.8. Гиперболический параболоид
- •4.3.9. Прямолинейные образующие поверхности
- •V. Расширенные евклидовы плоскость и пространство
- •5.1. Определение расширенных евклидовых плоскости и пространства
- •5.2. Однородные координаты на расширенной евклидовой плоскости
- •5.3. Уравнения прямой, точки и линий второго порядка в однородных координатах на расширенной евклидовой плоскости
- •5.4. Однородные координаты в расширенном евклидовом пространстве
- •5.5. Уравнения плоскости и прямой в однородных координатах
- •Задачи по аналитической геометрии для домашних заданий
- •Метод координат на плоскости и в пространстве
- •Lll. Прямая линия на плоскости
- •LV. Плоскость и прямая в пространстве
- •V. Элементарная теория кривых второго порядка
- •Vl. Элементарная теория поверхностей
- •Vll. Другие системы координат на плоскости и в пространстве
- •Основная литература
4.3.4. Эллипсоид
Определение 39. Эллипсоидом называется множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением
(88)
Из уравнения сразу следуют такие свойства эллипсоида:
а х а, b у b, с z с. Следовательно, эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда, симметричного относительно координатных плоскостей, длины рёбер которого равны 2а, 2b, 2с;
Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.
Исследуем форму эллипсоида.
Если поверхность задана уравнением, то исследование её формы часто бывает удобно проводить методом сечений. Для этого исследуемую поверхность пересекают различными плоскостями, проще всего координатными и параллельными координатным.
I. Пересечём эллипсоид плоскостью, параллельной (ХОУ), её уравнение z = h. Уравнения сечения будут ()
Возможны случаи:
1) с h с. В этом случае система () определяет эллипс в плоскости z = h. Полуоси эллипса равны аи b. Наибольшие полуоси получаются при h = 0, т.е. в плоскости (ХОУ). При h с полуоси стремятся к нулю, т.е. эллипс стягивается в точку. 2) h = с. В каждой из этих плоскостей система () определяет точку, т.е. плоскости z = с пересекают эллипсоид в одной точке каждая (рис.84). |
Рис. 84 |
3) h с или h с. В этом случае система () определяет пустое множество точек, т.е. плоскости z = h при указанных h не пересекают эллипсоид.
II. При пересечении эллипсоида плоскостями, параллельными (ХОZ) и (УОZ) получим аналогичные результаты. Проведите эти исследования самостоятельно.
4.3.5. Однополостный гиперболоид
Определение 40. Однополостным гиперболоидом называется множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением
(89)
Из уравнения (89) следует
, т.е. гиперболоид лежит вне эллиптического цилиндра, образующие которого параллельны оси (ОZ), а направляющей является эллипс в плоскости (ХОУ).
Однополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.
Исследуем форму этого гиперболоида методом сечений.
I. Пересечём гиперболоид плоскостью, параллельной (ХОУ), её уравнение z = h. Уравнения сечения будут ()
При любом h это уравнение определяет эллипс с полуосями аи b. Наименьший эллипс получается при h = 0, т.е. в плоскости (ХОУ). При возрастании h полуоси эллипсов увеличиваются и стремятся к бесконечности (рис. 85). II. Пересечём гиперболоид плоскостями у = m, параллельными плоскости (ХОZ). Уравнения сечений у = m. () Возможны случаи: 1) b m b. Сечениями будут гиперболы, действительные оси которых параллельны оси (ОХ) и действительная и мнимая полуоси имеют длину |
Рис. 85 |
а и bсоответственно. Наибольшие полуоси получаются при m = 0. При увеличении m полуоси уменьшаются и стремятся к нулю. Следовательно, ветви гиперболы сближаются.
2)m = b. В этом случае . Это уравнение определяет пару пересекающихся прямых. Итак, каждая из плоскостей у =b и у =b пересекает гиперболоид по паре пересекающихся прямых.
3) m b. В этом случае уравнения () определяют гиперболу, действительная ось которой параллельна оси (ОZ). При увеличении m полуоси будут возрастать, следовательно, ветви гиперболы удаляются друг от друга (рис. 85).
III. При пересечении гиперболоида плоскостями х = n, параллельными плоскости (УОZ) получим результаты, аналогичные результатам предыдущего пункта (проведите это исследование сами).