5.2. Однородные координаты на расширенной евклидовой плоскости

Если на евклидовой плоскости (до её расширения) была введена аффинная система координат, то между всеми точками этой плоскости и упорядоченными парами действительных чисел было установлено взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, после расширения евклидовой плоскости новые (несобственные) точки уже нельзя характеризовать аффинными координатами. Аффинную систему координат тоже нужно расширять. Это можно сделать следующим образом.

Пусть на плоскости П (до её расширения) система аффинных координат была задана репером . Выберем произвольную точкуS  П и введём в евклидовом пространстве базис ,

Рис. 90

где (рис. 90). Пустьt – произвольная прямая, проходящая через точку S. Она пересекает плоскость П в одной и только одной точке (конечной или бесконечно удалённой). Обратно, любая точка расширенной плоскости П вместе с точкой S определяет прямую. Итак, между всеми точками расширенной плоскости П и всеми прямыми пучка с центром S устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Каждая прямая t пучка определяется точкой S и ненулевым вектором . При этом все ненулевые пропорциональные векторы определяют одну и ту же прямую. Если в базисеВ вектор , то между всеми точками расширенной евклидовой плоскостиП и всеми классами ненулевых пропорциональных троек действительных чисел устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно. классвполне определяет любую точку этой плоскости. Он называется однородными координатами соответствующей точки. ЗаписываетсяМ (X:Y:Z). Очевидно, точка М собственная тогда и только тогда, когда вектор не параллелен плоскостиП (до её расширения), т.е. когда Z  0. И точка М несобственная тогда и только тогда, когда Z = 0.

Система однородных координат на расширенной плоскости получилась с помощью расширения базиса, входящего в аффинный репер, поэтому между аффинными и однородными координатами собственных точек тоже должна быть связь. Найдём её. Пусть М – произвольная собственная точка плоскости П (рис. 90). Пусть (х, у) её аффинные координаты, (X:Y:Z) её однородные координаты. Так как  один из векторов, соответствующих точке М, то его координаты пропорциональны X, Y, Z . Но

= .

Следовательно, (X:Y:Z) = (х:у:1). Отсюда следует, что

, . (*)

Замечание. Если  М и , то однородные координаты точки М есть (X:Y:Z).

Пример 1. Найдите однородные координаты точки О и бесконечно удалённых точек осей (ОХ) и (ОУ) соответствующей аффинной системы координат.

Решение. Так как  О и = {0, 0, 1}, тоО (0: 0: 1). Так как исоответствуют бесконечно удалённым точкам осей (ОХ) и (ОУ) соответственно, то однородные координаты этих точек (1: 0: 0) и (0: 1: 0) соответственно.

Пример 2. Найдите однородные координаты точек прямой у = 2х +5.

Решение. Так как направляющий вектор данной прямой в базисе имеет координаты {1, 2, 0}, то любая собственная точка М этой прямой имеет однородные координаты М(1: 2: 1). Для несобственной точки Р этой прямой Р (1: 2: 0).

Пример 3. Найдите однородные координаты точек собственной прямой Ах + Ву + С = 0.

Решение. Так как направляющий вектор данной прямой в базисе имеет координаты {В, А, 0}, то любая собственная точка М этой прямой имеет однородные координаты М(В: А: 1). Для несобственной точки Р этой прямой Р (В: А: 0).