1.3. Умножение вектора на действительное число

Определение 6. Произведением ненулевого вектора на отличное от нуля действительное число называется такой вектор (обозначение), что

,

, если   0,

, если   0.

Если или = 0, то вектор считается равным нулевому вектору.

Свойства операции умножения вектора на действительное число.

1⁰. Произведение любого вектора на любое действительное число определено и однозначно.

2⁰. 1для любого вектора.

3⁰.для любого вектораи любых действительных чисел,.

Доказательство. Возможны случаи.

1)  = 0, или  = 0, или =. В этом случае равенство очевидно.

2)   0,   0 и  . Сравним длины и направления векторов, стоящих в левой и правой частях доказываемого равенства.

,

.

Следовательно, . Так как направления векторов зависят от знаков коэффициентов, то рассмотрим все возможные случаи.

а)  и  одного знака (пусть   0,   0). В этом случае     0.

,

, следовательно, .

Итак, левая и правая части доказываемого равенства имеют одинаковые длины и направления, поэтому они равны.

б)  и  имеют разные знаки (пусть   0,   0). В этом случае     0.

.

.

Снова получили, что левая и правая части доказываемого равенства имеют одинаковые длины и направления, поэтому они равны.

4⁰. и (для любых векторов,и любых действительных чисел, . (Докажите это свойство самостоятельно).

Теорема 2. Множество всех геометрических векторов есть векторное (линейное) пространство над полем действительных чисел.

Доказательство следует из теоремы 1 и свойств 1⁰ – 4⁰ операции умножения вектора на действительное число.

1.4. Коллинеарные векторы

Определение 7. Векторы называются коллинеарными, если их можно отложить на одной прямой.

Свойства коллинеарных векторов.

1⁰. Нулевой вектор коллинеарен с любым вектором.

2⁰. Противоположные векторы коллинеарны.

3⁰. При сложении двух коллинеарных векторов получается вектор, коллинеарный с данными векторами. Следовательно, множество коллинеарных векторов замкнуто относительно операции сложения.

4⁰. Если вектор умножить на действительное число, то получится вектор, коллинеарный данному. Следовательно, множество коллинеарных векторов замкнуто относительно операции умножения на действительное число.

Из этих свойств вытекает

Теорема 3. Множество всех коллинеарных векторов есть векторное (линейное) пространство над полем действительных чисел.

5⁰. Если два вектора коллинеарны, то хотя бы один из них можно представить в виде произведения другого на действительное число.

Доказательство. Пусть векторы иколлинеарны. Если вектор=, то= 0. Если=, то= 0. Если , и, то=. Если, то= .

Из двух последних свойств следуют следующие два свойства.

6⁰. (Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов)

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить в виде произведения другого на действительное число.

7⁰. Если вектор не нулевой, то любой вектор, коллинеарный с вектором, можно представить в виде. Иными словами, для задания множества всех коллинеарных векторов достаточно задать один ненулевой из них.

Следствие. Множество всех коллинеарных векторов есть одномерное векторное пространство над полем действительных чисел. Базисом в нём является любой его ненулевой вектор.

Задача 2. Отрезок АВ точками С, Р, О, К, М, Т разбит на семь равных частей. Пусть

. Выразить через вектор векторы. Решение. ,, ,,.

Рис. 8