1.15. Смешанное произведение векторов

Определение 14. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется результат векторного произведения первых двух векторов, умноженный скалярно на третий вектор.

Если дана упорядоченная тройка векторов ,и, то смешанным произведением будет число, равное.

Свойства смешанного произведения векторов.

1⁰. Смешанное произведение любой упорядоченной тройки векторов определено и однозначно.

2⁰. Очевидно, смешанное произведение обладает всеми свойствами, общими для векторного и скалярного произведений. Так, например, ,

),,

, ,.

3⁰. Смешанное произведение трёх векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы компланарны.

Доказательство. = 0 =, или, или.

Но = иколлинеарны; параллелен плоскости векторови.

Следовательно, = 0 ,икомпланарны.

4⁰. (Смешанное произведение в координатах).

Доказательство. Пусть В = ортонормированный базис, ,,. Так как==. Так как базис ортонормированный, то по формуле (7) получим

= (11)

5⁰. Если в смешанном произведении поменять местами два множителя, то оно сменит знак.

Доказательство. Зафиксируем ортонормированный базис. Тогда смешанное произведение можно найти по формуле (11). Если два множителя в смешанном произведении меняются местами, то в определителе формулы (11) меняются местами две строки. При этом определитель меняет знак на противоположный.

6⁰. Если в смешанном произведении все множители поменять местами, то смешанное произведение не изменится. (Докажите)

7⁰. Смешанное произведение не изменится, если в нём поменять местами знаки векторного и скалярного умножения, т.е. =

Доказательство. Зафиксируем ортонормированный базис. Тогда ====.

Замечание. Последнее свойство позволяет в обозначении смешанного произведения не ставить знаки векторного и скалярного произведений, поэтому смешанное произведение можно обозначать .

8⁰. Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения.

Если векторы компланарны, то смешанное произведение их равно нулю (свойство 3⁰), поэтому рассмотрим упорядоченную тройку ,инекомпланарных векторов. Отложим векторы,иот одной точки:

, ,. Построим параллелепипедOADBCMNP на векторах , как на рёбрах. Пустьесть векторная проекция векторана направление вектора. Тройка векторов,ивсегда правая. Если тройка,итоже правая, тосонаправлен с вектором, следовательно, числовая проекция 0 (рис. 27). Если же

Рис. 27

тройка ,,левая, то векторпротивоположно направлен с вектором, следовательно, числовая проекция 0. Так как =, то знаксовпадает со знаком. Итак, 0  тройка векторов ,,правая и 0  тройка векторов ,,левая.

Так как= =, где высота параллелепипеда, то  = , где объём параллелепипеда OADBCMNP.

9⁰. (формула для нахождения высоты параллелепипеда).

10⁰. Если АВСD  тетраэдр, то ,.

Задача 11. АВСDA₁B₁C₁D₁  куб с единичным ребром, ,

, ,. Найдите высоту тетраэдраMNPQ, опущенную из вершины Q. Решение. ,,. Выберем базис В =, где,,. Этот базис ортонормированный.

Рис. 28

Найдём координаты векторов: ,,

. Следовательно, ,

, .

= ,. Следовательно,

.