- •Аналитическая геометрия
- •I. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Геометрические векторы
- •1.2. Сложение векторов
- •1.3. Умножение вектора на действительное число
- •1.4. Коллинеарные векторы
- •1.5. Компланарные векторы
- •1.6. Проекция на прямую параллельно данной плоскости
- •1.7. Проекция вектора на ось
- •1.8. Ортогональная проекция вектора на ось
- •1.9. Скалярное произведение векторов
- •1.10. Векторное произведение векторов
- •1.15. Смешанное произведение векторов
- •II. Метод координат на плоскости и в пространстве
- •2.1 Введение системы аффинных и прямоугольных координат на плоскости и в пространстве
- •2.2. Аффинные задачи на плоскости и в пространстве
- •2.2.1. Координаты вектора, заданного координатами его концов.
- •2.3. Метрические задачи на плоскости и в пространстве .
- •2.3.1. Расстояние между точками.
- •2.3.2. Угол, заданный тремя точками.
- •2.4. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве
- •2.5. Преобразование прямоугольных координат на плоскости
- •2.6. Полярные координаты на плоскости
- •2.7. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве
- •III. Образы первой ступени
- •3.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат
- •3.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве
- •3.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору
- •3.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •3.2.3. Общие уравнения прямой
- •I.Общее уравнение прямой на плоскости
- •2. Общие уравнения прямой в пространстве
- •3.2.4. Исследование взаимного расположения прямых
- •3.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
- •3.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •3.3.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку под данным углом к оси (Ох)
- •3.3.3. Нормальное уравнение прямой
- •3.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями
- •3.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами
- •3.3.6. Расстояние от точки до прямой
- •3.4. Пучок прямых на плоскости
- •3.6. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.6.1. Плоскость в аффинной системе координат
- •3.6.1.1. Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам
- •3.6.1.2.. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки
- •3.6.1.3. Общее уравнение плоскости
- •3.6.1.4. Исследование взаимного расположения двух плоскостей
- •3.6.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
- •3.6.2.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •3.6.2.2. Угол между двумя плоскостями
- •3.6.2.3. Угол между прямой и плоскостью
- •3.6.2.4. Расстояние от точки до плоскости
- •3.6.2.5. Расстояние от точки до прямой
- •3.6.2.6. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •IV. Образы второго порядка
- •4.1. Элементарная теория линий второго порядка
- •4.1.1. Окружность
- •4.1.2. Эллипс
- •4.1.3. Гипербола
- •4.1.4. Парабола
- •4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах
- •4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка
- •4.2.1. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат
- •4.2.2. Упрощение уравнения линии второго порядка. Метрическая классификация линий второго порядка
- •4.3. Поверхности
- •4.3.1. Цилиндрические поверхности
- •4.3.2. Конические поверхности
- •4.3.3. Поверхности вращения
- •4.3.4. Эллипсоид
- •4.3.5. Однополостный гиперболоид
- •4.3.6. Двуполостный гиперболоид
- •4.3.7. Эллиптический параболоид
- •4.3.8. Гиперболический параболоид
- •4.3.9. Прямолинейные образующие поверхности
- •V. Расширенные евклидовы плоскость и пространство
- •5.1. Определение расширенных евклидовых плоскости и пространства
- •5.2. Однородные координаты на расширенной евклидовой плоскости
- •5.3. Уравнения прямой, точки и линий второго порядка в однородных координатах на расширенной евклидовой плоскости
- •5.4. Однородные координаты в расширенном евклидовом пространстве
- •5.5. Уравнения плоскости и прямой в однородных координатах
- •Задачи по аналитической геометрии для домашних заданий
- •Метод координат на плоскости и в пространстве
- •Lll. Прямая линия на плоскости
- •LV. Плоскость и прямая в пространстве
- •V. Элементарная теория кривых второго порядка
- •Vl. Элементарная теория поверхностей
- •Vll. Другие системы координат на плоскости и в пространстве
- •Основная литература
4.3.6. Двуполостный гиперболоид
Определение 41. Двуполостным гиперболоидом называется множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением
(90)
Из уравнения (90) следует
, т.е. гиперболоид лежит вне полосы, ограниченной плоскостями z = с.
Однополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.
Исследуем форму этого гиперболоида методом сечений.
I. Пересечём гиперболоид плоскостью, параллельной (ХОУ), её уравнение
z = h.
Уравнения сечения (). Как отмечено выше, плоскости z = h при с h с не пересекают гиперболоид. При h с в сечении получается эллипс с полуосями и. Эти полуоси неограниченно возрастают при увеличенииh. II. При пересечении гиперболоида плоскостями у = m, параллельными плоскости (ХОZ) получаются линии
|
Рис. 86 |
Эти уравнения определяют гиперболы, полуоси которых возрастают при увеличении m.
III. При пересечении гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости (УОZ) получаются тоже гиперболы. (Исследуйте этот случай сами) (рис. 86).
4.3.7. Эллиптический параболоид
Определение 42. Эллиптическим параболоидом называется множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением (91).
Из уравнения (91) следует:
z 0, т.е. параболоид лежит целиком в одной полуплоскости с границей (ХОУ), а именно в той, в которой лежит положительная полуось (ОZ);
параболоид симметричен относительно плоскостей (ХОZ), (УОZ) и оси (ОZ).
Исследуем параболоид методом сечений. Очевидно плоскости z = h могут пересекать параболоид только при h 0. при этом в сечениях будут получаться
эллипсы с полуосями и, еслиh 0. Эти полуоси неограниченно возрастают при увеличении h. При h = 0 в сечении будет одна точка – начало координат. Плоскости, параллельные плоскостям (ХОZ) и (УОZ), пересекают параболоид по параболам (исследуйте эти сечения самостоятельно) (рис. 87). |
Рис. 87 |
4.3.8. Гиперболический параболоид
Определение 43. Гиперболическим параболоидом называется множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением (92).
Из уравнения (92) следует, что параболоид симметричен относительно плоскостей (ХОZ), (УОZ) и оси (ОZ).
Исследуем параболоид методом сечений.
I. При пересечении параболоида плоскостями z = h, параллельными плоскости (ХОУ), получаются линии ()
При h 0 в сечении получаются гиперболы, действительные оси которых параллельны оси (ОУ), при h 0 гиперболы с действительными осями, параллельными оси (ОХ). При h = 0 плоскость (ХОУ) пересекает параболоид по паре пересекающихся прямых.
II. В сечении плоскостями у = m, параллельными плоскости (ХОZ) получаются параболы у = m, оси которых параллельны оси (ОZ), ветви направлении в направлении оси (ОZ) и вершинами являются точки (0, m, ).
III. В сечении плоскостями х = n, параллельными плоскости (УОZ), получаются линии Эти уравнения определяют параболы, оси которых параллельны оси (ОZ), ветви направлении в направлении, противоположном оси (ОZ), и вершинами являются точки (n, 0, ).
Исследование методом сечений даёт следующую поверхность
Рис. 88