4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка

Определение 35. Линией второго порядка называется множество точек плоскости, которое в некоторой АСК можно задать уравнением второй степени от двух переменных.

Примерами таких линий являются окружность, эллипс, гипербола и парабола. Очевидно, в различных системах координат одна и та же линия будет задаваться различными уравнениями. При изучении этих линий прежде всего встают вопросы:

• Как выбрать такую систему координат, в которой линия имела бы наиболее простое уравнение.

• Какие существуют типы линий второго порядка.

4.2.1. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат

Общий вид уравнения линии Г второго порядка в любой системе аффинных координат:

Г: а₁₁х² +2а₁₂ху + а₂₂у² + 2а₁₃х + 2а₂₃у + а₃₃ = 0 (66)

Если в уравнении (66) коэффициент а₁₂ = 0, то уравнение (66) упрощается выделением полных квадратов (мы это сделаем ниже). Пусть а₁₂  0. Поставим вопрос, можно ли найти такую систему координат, чтобы в уравнении линии Г не было слагаемого с произведением координат. Пусть линия Г задана в прямоугольной системе координат. Решить поставленный вопрос попробуем с помощью поворота прямоугольной системы координат. В этом случае формулы преобразования координат:

(67)

Подставив в уравнение (66), получим

а₁₁(х¹соs - у¹sin)² + 2а₁₂(х¹соs - у¹sin)(х¹ sin + у¹ соs) + а₂₂(х¹ sin + у¹ соs)² + + 2а₁₃(х¹соs - у¹sin) + 2а₂₃(х¹ sin + у¹ соs) + а₃₃ = 0.

Раскроем скобки, приведём подобные и запишем уравнение в виде

+ 2(68)

Новые коэффициенты выражаются через старые по формулам:

(69)

4.2.2. Упрощение уравнения линии второго порядка. Метрическая классификация линий второго порядка

Пусть в прямоугольной системе координат линия Г задана уравнением (66). Преобразуем систему координат по формулам (67), получим уравнение (68). В этом уравнении будет отсутствовать слагаемое с произведением координат тогда и только тогда, когда = 0, т.е..

Отсюда (70)

Итак, если систему координат повернуть на угол , определяемый по формуле (70), то в новой системе координат в уравнении линии Г не будет слагаемого с произведением координат. В этой системе координат уравнение будет иметь вид:

а₁₁х² + а₂₂у² + 2а₁₃х + 2а₂₃у + а₃₃ = 0 (71)

( для упрощения записи новые коэффициенты обозначили теми же буквами).

Возможны следующие случаи.

I. а₁₁  0, а₂₂  0. Выделим в правой части уравнения (17) полные квадраты.

а₁₁(х² + 2х +) +а₂₂(у² + 2) =.

Обозначим и свернём скобки.

(72)

После преобразования координат, сделанного по формулам (73), получим уравнение(74).

Возможны случаи:

1) а₁₁, а₂₂ и m – числа одного знака. Разделим обе части на m и обозначим ,. Уравнение (74) запишется(75). Это уравнение определяетэллипс.

2) а₁₁, а₂₂ – числа одного знака, m имеет противоположный знак. Разделим обе части уравнения (16) на (m) и обозначим , . Уравнение (74) будет иметь вид(76)

Это уравнение определяет пустое множество точек. Его называют мнимым эллипсом.

3) а₁₁, а₂₂ – числа разных знаков, m  0. Пусть m и а₁₁ одного знака. Обозначим ,. Тогда уравнение (74) запишется(77)

Это уравнение определяет гиперболу.

4) а₁₁, а₂₂ – числа разных знаков, m = 0. Пусть а₁₁  0, а₂₂  0. Обозначим ,. Уравнение (20) преобразуется к виду. (78) Разложив левую часть на множители, получим. Отсюда либо, либо. Эти уравнения определяютпару пересекающихся прямых.

5) а₁₁, а₂₂ – числа одного знака, m = 0. Можно считать, что а₁₁ и а₂₂ положительны. Обозначим ,. Уравнение (74) перепишется(79)

Это уравнение определяет единственную точку х¹ = у¹ = 0. Говорят, что линия Г распадается на пару мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке.

II. а₁₁ = 0, а₂₂  0. Уравнение (71) преобразуется к виду

.

Обозначив m = , получим уравнение(80)

Возможны случаи:

1) а₁₃  0. Сделаем преобразование координат Если обозначитьр = , то получим уравнение (у¹)² = 2рх. (81) Это уравнение определяет параболу.

2) а₁₃ = 0. Сделаем преобразование координат . Получим уравнениеа₂₂(у¹)² = m. Возможны случаи а) а₂₂ и m одного знака. Обозначим . Получим уравнение (у¹)² = а² , а  0 (82). Это уравнение определяет пару различных действительных параллельных прямых.

б) а₂₂ и m разных знаков. Получим уравнение (у¹)² =  а² , а  0 (83)

Это уравнение определяет пустое множество точек. Линия Г называется парой мнимых параллельных прямых.

в) m = 0. Получим уравнение (у¹)² = 0. (84). Оно определяет пару совпавших прямых.

Итак, доказана

Теорема 9. Если линия второго порядка задана в прямоугольной системе координат уравнением (66), то с помощью преобразования координат её уравнение можно привести к одному из следующих девяти видов:

(эллипс); (мнимый эллипс);

(гипербола); (пара пересекающихся прямых);

( пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке);

у² = 2рх (парабола) у² = а², а  0 (пара различных

параллельных прямых);

у² =  а², а  0 (пара мнимых параллельных прямых);

у² = 0 (пара совпавших прямых).

Из теоремы 9 следует метрическая классификация линий второго порядка: существует ровно девять типов линий второго порядка.