- •Аналитическая геометрия
- •I. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Геометрические векторы
- •1.2. Сложение векторов
- •1.3. Умножение вектора на действительное число
- •1.4. Коллинеарные векторы
- •1.5. Компланарные векторы
- •1.6. Проекция на прямую параллельно данной плоскости
- •1.7. Проекция вектора на ось
- •1.8. Ортогональная проекция вектора на ось
- •1.9. Скалярное произведение векторов
- •1.10. Векторное произведение векторов
- •1.15. Смешанное произведение векторов
- •II. Метод координат на плоскости и в пространстве
- •2.1 Введение системы аффинных и прямоугольных координат на плоскости и в пространстве
- •2.2. Аффинные задачи на плоскости и в пространстве
- •2.2.1. Координаты вектора, заданного координатами его концов.
- •2.3. Метрические задачи на плоскости и в пространстве .
- •2.3.1. Расстояние между точками.
- •2.3.2. Угол, заданный тремя точками.
- •2.4. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве
- •2.5. Преобразование прямоугольных координат на плоскости
- •2.6. Полярные координаты на плоскости
- •2.7. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве
- •III. Образы первой ступени
- •3.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат
- •3.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве
- •3.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору
- •3.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •3.2.3. Общие уравнения прямой
- •I.Общее уравнение прямой на плоскости
- •2. Общие уравнения прямой в пространстве
- •3.2.4. Исследование взаимного расположения прямых
- •3.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
- •3.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •3.3.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку под данным углом к оси (Ох)
- •3.3.3. Нормальное уравнение прямой
- •3.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями
- •3.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами
- •3.3.6. Расстояние от точки до прямой
- •3.4. Пучок прямых на плоскости
- •3.6. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.6.1. Плоскость в аффинной системе координат
- •3.6.1.1. Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам
- •3.6.1.2.. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки
- •3.6.1.3. Общее уравнение плоскости
- •3.6.1.4. Исследование взаимного расположения двух плоскостей
- •3.6.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
- •3.6.2.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •3.6.2.2. Угол между двумя плоскостями
- •3.6.2.3. Угол между прямой и плоскостью
- •3.6.2.4. Расстояние от точки до плоскости
- •3.6.2.5. Расстояние от точки до прямой
- •3.6.2.6. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •IV. Образы второго порядка
- •4.1. Элементарная теория линий второго порядка
- •4.1.1. Окружность
- •4.1.2. Эллипс
- •4.1.3. Гипербола
- •4.1.4. Парабола
- •4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах
- •4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка
- •4.2.1. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат
- •4.2.2. Упрощение уравнения линии второго порядка. Метрическая классификация линий второго порядка
- •4.3. Поверхности
- •4.3.1. Цилиндрические поверхности
- •4.3.2. Конические поверхности
- •4.3.3. Поверхности вращения
- •4.3.4. Эллипсоид
- •4.3.5. Однополостный гиперболоид
- •4.3.6. Двуполостный гиперболоид
- •4.3.7. Эллиптический параболоид
- •4.3.8. Гиперболический параболоид
- •4.3.9. Прямолинейные образующие поверхности
- •V. Расширенные евклидовы плоскость и пространство
- •5.1. Определение расширенных евклидовых плоскости и пространства
- •5.2. Однородные координаты на расширенной евклидовой плоскости
- •5.3. Уравнения прямой, точки и линий второго порядка в однородных координатах на расширенной евклидовой плоскости
- •5.4. Однородные координаты в расширенном евклидовом пространстве
- •5.5. Уравнения плоскости и прямой в однородных координатах
- •Задачи по аналитической геометрии для домашних заданий
- •Метод координат на плоскости и в пространстве
- •Lll. Прямая линия на плоскости
- •LV. Плоскость и прямая в пространстве
- •V. Элементарная теория кривых второго порядка
- •Vl. Элементарная теория поверхностей
- •Vll. Другие системы координат на плоскости и в пространстве
- •Основная литература
3.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
3.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Дано: R = ,М0(х0, у0), ,,l M0, l . Найти уравнение l. Найти уравнение l – это значит найти условие, которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек. М l либо , либо () Так как , то () перепишется |
Рис. 35 |
(24)
Полученное уравнение – это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Переписав уравнение (24) в координатах, получим
А(х х0) + В(у у0) = 0 (25)
Поставим обратную задачу:
Дано: R = ,l : Ax + By + C = 0 ().
Доказать: если , то.
Доказательство. Пусть М(х, у) – произвольная точка данной прямой и М0(х0, у0) – некоторая фиксированная её точка. Тогда Ах0 + Ву0 + С = 0. Вычитая почленно полученное тождество из уравнения (), получим уравнение А(х х0) + В(у у0) = 0, эквивалентное уравнению (), т.е. уравнение (25). Если , то (25) можно записатьВекторлибо нулевой, либо параллеленl. Так как , то для всех точек М l , отличных от М0, имеет место . Отсюда следует, что.
3.3.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку под данным углом к оси (Ох)
Дано: R = ,М0(х0, у0), l М0, (угол ориентированный). Найти уравнение l. Для решения задачи достаточно знать вектор, параллельный данной прямой. Возьмём вектор такой, чтои. Очевидно,l. Так как координаты вектора в прямоугольной системе координат равны ортогональным проекциям этого вектора на |
Рис. 36 |
соответствующие оси, то . Используя каноническое уравнение прямой на плоскости (16), получим
l : . (26)
Прямые, не перпендикулярные оси (Ох), называются наклонными. Для таких прямых , следовательно, уравнение (26) можно привести к виду
, где (27)
Если l (Ох), то уравнение (26) можно привести к виду х = х0 (28) Это уравнение вертикальной прямой.
Если l – наклонная прямая и l (Оу) = В, где В(0, в), то уравнение (27) преобразуется к виду
у = кх + в (29)
Уравнение (29) называют уравнение прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении к – тангенс угла наклона прямой к оси (Ох), в – отрезок, отсекаемый прямой на оси (Оу).
3.3.3. Нормальное уравнение прямой
Дано: R = ,:,,l Р, l . Найти уравнение l. М l пр= р. Отсюда М l . Так как,, тоМ l . Отсюда |
Рис. 37 |
М l (30)
Уравнение (30) называется нормальное уравнение прямой. В этом уравнении
(cos)2 + (sin)2 = 1, свободный член (р) 0.
Очевидно, нормальное уравнение прямой является одним из общих её уравнений. Если прямая задана в аффинной системе координат уравнением Ax + By + C = 0, то все остальные её общие уравнения имеют вид
Ax + By + C = 0, где 0 ().
Следовательно, существует такое , при котором уравнение () будет нормальным уравнением данной прямой. Для этого должны выполняться условия (А)2 + (В)2 = 1, (С) 0. Отсюда и знак перед корнем должен быть противоположен знакуС. (Если С = 0, то знак можно взять любой). Коэффициент называется нормирующим множителем, а уравнениебудет нормальным уравнением данной прямой. Говорят, что уравнениеAx + By + C = 0 приведено к нормальному виду.