3.6.1.4. Исследование взаимного расположения двух плоскостей

Дано: R = , П₁ : А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0,

П₂ : А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Исследовать взаимное расположение П₁, П₂ .

Решение. Задача сводится к исследованию системы

(46)

Возможны случаи.

1. А₁, В₁, С₁ и А₂, В₂, С₂ не пропорциональны. В этом случае система (46) имеет бесконечно много решений, но уравнения не пропорциональны. На геометрическом языке получаем, что плоскости имеют бесконечно много общих точек, но не совпадают. Следовательно, П₁ и П₂ пересекаются по прямой.

Замечание. Если прямая задана общими уравнениями (19), то каждое отдельно взятое уравнение задаёт прямую, т.е. прямая задаётся как линия пересечения двух плоскостей.

2. . В этом случае уравнения системы (46) эквивалентны, т.е. каждое решение одного из них является решением второго. На геометрическом языке: каждая точка одной плоскости лежит на другой, т.е. плоскости совпадают.

3. . В этом случае системы (46) не имеет решений. На геометрическом языке: плоскости не имеют общих точек.

Следствие. Плоскости П₁ : А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, П₂ : А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0 параллельны тогда и только тогда, когда .

Задача 16. Исследовать взаимное расположение плоскостей, если одна из них задании общим уравнением, а вторая – параметрическими уравнениями.

Дано: R = , П₁ : Ах + Ву + Сz + D = 0, П₂ :

Исследовать взаимное расположение П₁, П₂ .

Решение. Задача сводится к исследованию системы()

Подставив выражения х, у, z в первое уравнение и преобразовав его, получим

()

Возможны случаи:

1)  0 ( или  0). В этом случае уравнение () имеет бесконечно много решений, зависящих от одного параметра. Следовательно, система () тоже имеет бесконечно много решений, зависящих от одного параметра. На геометрическом языке это значит, что плоскости пересекаются по прямой.

2) = 0,= 0,= 0. В этом случае уравнение () имеет вид 0u + 0v + 0 = 0. Этому уравнению удовлетворяют все возможные значения u и v. На геометрическом языке это значит, что все точки первой плоскости лежат на второй и наоборот. Следовательно, плоскости совпадают.

3) = 0,= 0, 0. В этом случае уравнение () имеет вид 0u + 0v + () = 0. Это уравнение не имеет ни одного решения. На геометрическом языке это значит, что данные плоскости не имеют общих точек.