2.5. Преобразование прямоугольных координат на плоскости

Пусть на плоскости даны две системы прямоугольных координат, заданные реперами R =иR¹ =,О¹(х₀, у₀)_R и (рис. 77).

Пусть М(х, у)R и М(х1, у1. Так как прямоугольная система координат является частным случаем аффинной, то можно воспользоваться формулами (63), но для этого нужно найти старые координаты векторов и. Возможны два случая: 1) Реперы R = иR1 =

Рис. 24

одинаково ориентированы. Так как пр, пр) = (cos, sin) и пр, пр) = (sin, cos), то формулы (63) будут иметь вид

(64)

2) Реперы R = иR¹ = противоположно ориентированы (рис.24). В этом случае формулы (63) примут вид

(65)

2.6. Полярные координаты на плоскости

Определение 18. Полярным репером называется совокупность фиксированных точки и единичного вектора Р = . ТочкаО называется полюсом (или началом полярной системы координат).

Точка О вместе с вектором определяет луч, который называетсяполярной осью.

Пусть М – произвольная точка плоскости,  её радиус-вектор. Положение точки М вполне определено, если известны длина  её радиуса-вектора и ориентированный угол (рис. 25). Упорядоченная пара чисел (, ) называется полярными координатами точки М и обозначается М (, ). Каждая пара (, ) определяет точку на плоскости

Рис. 25

и только одну. Но любая точка плоскости имеет бесконечно много пар полярных координат. Действительно, если М (, ), то М (,  + 2к), где к – любое целое число. Точка О – единственная точка, для которой полярным углом может быть любой угол. Полярный репер Р = и ортонормированный реперR = называются соответствующими друг другу. ЕслиМ (, )_Р и М(х, у)_R, то x = cos, y = sin. В полярных координатах  может принимать все возможные действительные значения, а   0. Если отказаться от условия, что   0, то мы получим обобщённые полярные координаты.

Пусть М (, ). Если   0, то обобщенные полярные координаты совпадают с обычными полярными координатами. Если же   0, то точка М определяется так: проведём луч под углом  к полярной оси и

на дополнительном к нему луче отложим отрезок ОМ, длина которого равна || (рис. 26). Задача 13. Постройте точки, заданные в полярной системе координат А(3, ),В(3, ),С(3, ),К(3, ), Н(3, 0).	Рис. 26
Решение. Для построения точки А проводим луч с началом в точке О под углом к полярной оси и на нём откладываем отрезокОА, длина которого равна 3. Для построения точки В проводим луч с началом в точке О под углом к полярной оси и на дополнительном к нему луче	Рис. 27

откладываем от точки О отрезок длины 3 = 3, получаем , что В = А. Для построения точки С проводим луч под углом к полярной оси и на нём откладываем отрезок длины 3. ЛучОК образует с осью угол  и имеет длину 3. Луч ОН сонаправлен с осью и имеет длину 3.

Пусть полярная система координат задана репером Р = , а прямоугольная система координат задана реперомR = (т.е. начало координат у них одно и то же и полярная ось совпадает с осью абсцисс). ПустьМ – произвольная точка плоскости, М (, )_Р и М (х, у)_R. Так как х = пр и у = пр, то Из этих формул следует, чтоПолучили связь между прямоугольными декартовыми координатами точки иеё соответствующими полярными координатами.