4.1.3. Гипербола

Определение 30. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных различных точек есть постоянная величина (рис. 50).

Данные точки называются фокусами и обозначаются F1 и F2. Данная постоянная величина обозначается 2. ЕслиF1F2 = 2с, то из свойств сторон треугольника F1F2М следует, что 2с  2, т.е. с . При изучении гиперболы нужно решить те же самые задачи, которые мы ставили для эллипса.

Рис. 65

• Выбрав какую-либо систему координат, вывести уравнение гиперболы.

• Используя полученное уравнение, исследовать форму и свойства гиперболы.

Для вывода уравнения гиперболы выберем такую же каноническую систему координат, какая была использована для эллипса (рис. 65). В этой системе координат F₁(с, 0), F₂ (с, 0). Пусть М (х, у). Тогда r₁ = F₁М = , r₂ = F₂М= .

М  гиперболе   + = 2а, или

+ = 2а (58)

Уравнение (58) есть уравнение гиперболы. Упрощая его (проведите эти преобразования самостоятельно), получим

, где (59)

Так же как в случае эллипса можно показать, что уравнения (58) и (59) эквивалентны. Уравнение (59) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследуя уравнение (59), получаем следующие свойства гиперболы.

 , т.е. х  илих  . Следовательно, вся гипербола лежит вне полосы, ограниченной прямымих =  (рис.51).  Гипербола пересекает ось (ОХ) в точках А1(,0),А2(,0). ОтрезокА1А2 имеет длину 2и называется действительной осью гиперболы.

Рис. 66

С осью (ОУ) гипербола не пересекается, но точки В₁(0, ) иВ₂(0, ) называются мнимыми вершинами гиперболы. ОтрезокВ₁В₂ имеет длину 2и называется мнимой осью гиперболы.

 Гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат. Следовательно, форму гиперболы достаточно исследовать только в первом координатном углу.

Пусть х  0, у  0. Тогда из уравнения (5) получим . Это уравнение той ветви гиперболы, которая лежит в первом координатном углу. Сравним эту ветвь гиперболы с лучом, лежащим в том же углу. При одном и том же значениих будет у_гип.  у_луче, т.е. ветвь гиперболы лежит между осью (ОХ) и лучом (рис. 67). Пусть М и  точки на гиперболе и на луче

соответственно с одной и той же абсциссой. Итак, точки гиперболы неограниченно приближаются к точкам луча. Используя симметрию относительно координатных осей, получим, что в остальных координатных углах гипербола неограниченно приближается к прямым (рис. 68).	Рис. 67
Определение 31. Прямые, которые в канонической системе координат задаются уравнениями , называютсяасимптотами гиперболы. Величина  = называетсяэксцентриситетом гиперболы. Очевидно,   1.	Рис. 68

Определение 32. Прямые, которые в канонической системе координат имеют уравнения называютсядиректрисами гиперболы.

Теорема 4. Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Определение 33. Прямая называется касательной к гиперболе, если она имеет с гиперболой одну двукратную точку пересечения. Общая точка гиперболы и её касательной называется точкой касания.

Теорема 5. В любой точке гиперболы существует касательная к ней и только одна. Если гипербола задана уравнением (59) и точка касания М₀(х₀, у₀), то касательная имеет уравнение

.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2. Теорема 6. Если действительная ось гиперболы постоянна, то при   1 гипербола стремится к паре лучей на оси (ОХ) с вершинами А1 и А2, если   , то гипербола стремится к паре параллельных прямых х =  а (рис. 69). Эта теорема доказывается аналогично теореме 3.

Рис. 69

Замечание 1. Если при выводе уравнения гиперболы через фокусы направить ось (ОУ) и постоянную, о которой идёт речь в определении, обозначить 2, то будета² = с² ² и уравнение гиперболы запишется (60).

Гиперболы, заданные уравнениями (59) и (60) называются сопряжёнными. Сопряжённые гиперболы имеют они и те же асимптоты (рис. 70). Фокусы гиперболы (60): ,. Её эксцентриситет = , директрисы у =.

Рис. 70

Замечание 2. Если центром гиперболы является точка С(х₀, у₀) и действительная ось параллельна оси (ОХ), то уравнение гиперболы .