IV. Образы второго порядка

4.1. Элементарная теория линий второго порядка

4.1.1. Окружность

Определение 26. Окружностью с центром С и радиусом а называется множество точек плоскости, удалённых от точки С на расстояние а. Обозначение  = окр(С, а).

Если на плоскости зафиксирована ПДСК и С(х₀,у₀), то М    СМ = а. Если М(х, у), то М     (х – х₀)² + (у – у₀)² = а². Следовательно, уравнение окружности в ПДСК есть (х – х₀)² + (у – у₀)² = а².

Если А(х₁, у₁)  , то уравнение касательной к  в точке А можно получить как уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно вектору =х₁–х₀,у₁–у₀. Получим уравнение (х₁ – х₀)(х – х₀) + (у₁ – у₀)(у – у₀) = а².

4.1.2. Эллипс

Определение 27. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных различных точек есть постоянная величина (рис. 60).

Данные точки называются фокусами и обозначаются F1 и F2. Данная постоянная величина обозначается 2. ЕслиF1F2 = 2с, то при  с не существует ни одной точки М. При = с точки М заполняют отрезок F1F2. Поэтому для того, чтобы эллипс был отличен от отрезка необходимо и достаточно, чтобы  с.

Рис. 60

Поставим задачи:

• Выбрав какую-либо систему координат, вывести уравнение эллипса.

• Используя полученное уравнение, исследовать форму и свойства эллипса.

Так как в определении эллипса используется расстояние между точками, то систему координат лучше выбрать прямоугольную. Так как все точки эллипса связаны с фокусами, то за начало координат лучше выбрать середину отрезка F₁F₂. Ось (ОХ) направим через фокусы в направлении от F₁ к F₂ (рис. 61). Выбранная система координат называется канонической системой

координат для эллипса. В этой системе координат F1(с, 0), F2 (с, 0). Пусть М (х, у). Тогда r1 = F1М = , r2 = F2М= . М  эллипсу  r1 + r2 = 2а. Следовательно, М  эллипсу  + = 2а (55) Уравнение (55) есть уравнение эллипса. Упростим его. Для этого уединим один из корней и возведём обе части уравнения в квадрат.

Рис. 61

= 2а  ,

х² – 2сх + с² + у² = 4а² – 4а+х² + 2сх + с² + у²

а=а² + сх.

Ещё раз возведя в квадрат, получим

а²х² + 2 а²сх + а²с² + а²у² = а⁴ + 2 а²сх + с²х²,

(а² – с²)х² + а²у² = а²(а² – с²).

Так как  с, то можно обозначить а² – с² = в². Последнее уравнение запишется

в²х² + а²у² = а²в². Разделив на = а²в², получим

(56)

Итак, уравнение (55) преобразовано в уравнение (56). Но при этом два раза применяли возведение в квадрат. Следовательно, нужно проверить, что уравнения (55) и (56) эквивалентны. Для этого достаточно показать, что, если координаты (х, у) удовлетворяют уравнению (56), то они удовлетворяют и уравнению (55).

Пусть (х, у) удовлетворяют уравнению (56). Тогда =. Подставив у² в выражение для r₁, получим r₁ = =====(Из уравнения (2) следует, чтоа  х  а . Так как  с, то  0). Аналогично получим, что r₂ = . Следовательно, r₁ + r₂ = 2,но это значит, что точка М(х, у) лежит на эллипсе. Итак, уравнения (55) и (56) эквивалентны. Уравнение (56) называется каноническим уравнением эллипса.

Будем исследовать эллипс, используя уравнение (56). Из него следует:

, т.е. ; эллипс пересекает ось (ОХ) в точках А1(,0) и А2(, 0); , т.е. ; эллипс пересекает ось (ОУ) в точках В1(0, ) и В2(0, );

Рис. 62

 эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат и проходят через точки А₁, А₂, В₁, В₂ (рис. 62);

эллипс симметричен относительно осей координат и относительно начала координат; в первом координатном углу при увеличении х от нуля до а координата у убывает от нуля до (рис. 63). длины отрезков А1А2 и В1В2 равны 2а и 2соответственно. Эти отрезки называются большой и малой осью эллипса соответственно. Точки А1, А2, В1, В2 называются вершинами эллипса. Фокусы

Рис.63

эллипса лежат на его большой оси между вершинами.

Величина  = называетсяэксцентриситетом эллипса. Очевидно, 0    1.

Определение 28. Прямые, которые в канонической системе координат имеют уравнения , называютсядиректрисами эллипса.

Так как   1, то эллипс лежит между своими директрисами (рис. 64).

Фокус F₁(с, 0) и директриса , а так же фокусF₂(с, 0) и директриса называются соответствующими.

Теорема 1. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету.

Доказательство. F1М = =а + х, МК1= =. Следовательно, F1М : МК1 =  ( рис. 5). Аналогично, F2М : МК2 =  . (Здесь МК1 и МК2  перпендикуляры, опущенные из точки М на директрисы р1 и р2 соответственно.)

Рис. 64

Определение 29. Прямая называется касательной к эллипсу, если она имеет с эллипсом одну двукратную точку пересечения. Общая точка эллипса и его касательной называется точкой касания.

Теорема 2. В любой точке эллипса существует касательная к нему и только одна. Если эллипс задан уравнением (56) и точка касания М₀(х₀, у₀), то касательная имеет уравнение

(57).

Доказательство. Если М₀(х₀, у₀) – любая точка эллипса, то = 1 (). Пусть р – любая прямая, проходящая через точку М₀. Тогда уравнения р будут х = х₀ + mt, у = у₀ + nt, где {m, n} – координаты направляющего вектора прямой р. Для того чтобы найти уравнение касательной, достаточно найти m и n. Координаты точки пересечения эллипса и прямой р должны удовлетворять системе ,х = х₀ + mt, у = у₀ + nt.

Подставляя х и у в первое уравнение системы, получаем . Отсюда. Используя (), получим . Так какt = 0 является решением полученного уравнения, то для существования уравнения касательной необходимо и достаточно, чтобы второй его корень тоже был равен нулю, т.е. должно быть . Все решения этого уравнения пропорциональны решению. Так как все эти решения определяют пропорциональные векторы, то искомая касательная существует и только одна. Найдём её уравнение, используя каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Получим. Преобразуя это уравнение и используя (), получим уравнение .

Теорема 3. Если большая ось эллипса постоянна, то при   0 эллипс стремится к окружности, если   1, то эллипс стремится к своей большой оси (т.е. к отрезку А₁А₂).

Доказательство. Так как и, то при постояннома с уменьшением  уменьшается с, а увеличивается. Если  0, то  а, т.е. эллипс стремится к окружности. При этом фокусы сближаются и стремятся к центру окружности. Следовательно, окружность есть предельное положение эллипса. Если   1, то с  а,  0, Фокусы стремятся к вершинам большой оси, а сам эллипс стремится к отрезку А₁А₂.

Замечание 1. Если при выводе уравнения эллипса через фокусы направить ось (ОУ) и постоянную, о которой идёт речь в определении, обозначить 2, то будет с, а² = ² – с² и уравнение эллипса будет такого же вида , но а.

Замечание 2. Если центром эллипса является точка М(х₀, у₀), но оси его параллельны координатным осям, то уравнение эллипса будет .