Boyarshinov_ChM_T2

v22 x ch x sin x sh x cos x ,

Теперь можно подсчитать коэффициенты системы алгебраических уравнений (3.9):

v11 1 u1 1 v21 1 u2 1 v31 1 u3 1 v41 1 u4 1 1 1 ,

v12 1 u1 1 v22 1 u2 1 v32 1 u3 1 v42 1 u4 1 2 1 .

Поскольку значения u1 1 0, u3 1 0 известны из граничных условий исходной задачи, получаем систему двух алгебраических уравнений относительно u2 1 , u4 1 .

В итоге для правой точки отрезка стали известны одновременно четыре значения искомых функций, то есть исходная задача сведена к задаче Коши:

53

Метод моментов

Пусть задано дифференциальное уравнение второго порядка, записанное в неявном виде,

L1 t t 1,

L2 t t2 4t 2,

a

56

2.Функции k линейно независимы на [a, b] .

3.Функция 0 удовлетворяет граничным условиям (3.19),

57

Образуем моменты, взвешивая полученную невязку по области [a, b] с

Очевидно, что полученное выражение можно рассматривать как систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных, относительно коэффициентов разложения решения дифференциальной задачи (3.18) - (3.19) в ряд (3.20) по замкнутой системе функций.

дифференциального уравнения.

На практике ограничиваются решением конечной системы n алгебраических уравнений (3.21) c n неизвестными. Понятно, что повышение точности получаемого приближенного решения связано с повышением числа n слагаемых, удерживаемых в представлении (3.20).

Пример 3.3. Рассмотрим уравнение стационарной теплопроводности

для стержня единичной длины, теплоизолированного с боковой поверхности. Предполагается, что на левом и правом торцах поддерживается заданная температура

q 0 0 , q 1 1 .

Систему пробных функций построим на основе полиномов. В качестве “нулевой” выберем линейную функцию

0 x G Hx .

Коэффициенты G и H подберем из условия удовлетворения заданным граничным условиям

Таким образом,

58

0 x 0 1 0 x .

Остальные пробные функции представим в форме, удовлетворяющей однородным условиям задачи, например:

1 x x 1 x,

2 x x 1 x2 ,

3 x x 1 x3 ,

k x x 1 xk .

Понятно, что такое представление не является единственным.

В качестве взвешивающих возьмем упомянутую ранее систему функций

1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), ...

Вычислим значения моментов:

1

1 0 2a1 a2 6x 2 a3 12x2 6x J 1dx 2a1 a2 a3 J ,

1

2 0 2a1 a2 6x 2 a3 12x2 6x J cos x dx

2a1 sin 1 a2 6cos 1 4sin 1 6 a3 18cos 1 6sin 1 6 J sin 1 ,

1

3 0 2a1 a2 6x 2 a3 12x2 6x J sin x dx

2a1 1 cos 1 a2 6sin 1 4cos 1 2 a3 18sin 1 18cos 1 24 J 1 cos 1 .

Система линейных алгебраических уравнений (3.21) для рассматриваемой задачи имеет вид:

59

Решением этой системы являются значения коэффициентов

позволяющие представить решение в виде

Легко проверить, что записанное выражение является точным решением поставленной задачи.

Метод Галеркина10

Предлагается в качестве взвешивающих функций использовать те же самые

Рассмотрим применение метода Галеркина в частном случае линейного дифференциального уравнения второго порядка

Согласно идее метода Галеркина,

Преобразуем первое слагаемое в этом выражении:

Теперь предыдущее выражение можно представить в виде:

10 Галеркин Борис Григорьевич [20.2.1871 - 12.7.1945] - русский инженер и ученый в области теории упругости. Окончил Санкт-Петербургский технологический институт в 1899 г. Работал на Харьковском паровозостроительном заводе. Начал свою плодотворную научную деятельность в тюрьме, куда попал за свои антимонархические убеждения. Первое назначение на педагогическую деятельность получил в 1909 г. в Санкт-Петербургском политехническом институте; с 1920 г. становится деканом факультета прикладной механики. Член-корреспондент АН СССР с 1928 г. Действительный член Академии наук СССР с 1935 г. В 1942 г. получил Государственная премия СССР. В 1941 и 1945 удостоен орденов В.И. Ленина.

60

Учитывая, что граничные условия заданы в виде (3.23), пробные функции выбираются из условия

Это в свою очередь приводит к упрощению полученной формулы:

b b b

В это соотношение подставим формулу (3.20) представления искомой функции в виде ряда и выполним преобразования:

Отметим, что в случае задания граничных условий в форме, отличающейся от (3.23), разрешающие соотношения (3.24) приводятся к виду (3.25) с иными значениями коэффициентов:

b

Cjk p k j ba p k j q k j dx, a

(3.26)

fj f jdx p 0 jdx q 0 jdx p 0 j ba .

Пример 3.4. Рассмотрим, как и в предыдущем примере, уравнение стационарной теплопроводности

61

для стержня единичной длины, теплоизолированного с боковой поверхности. Как и ранее, предполагается, что на левом и правом торцах поддерживается заданная температура

Систему пробных функций построим на основе принятой в предыдущем случае системе полиномов. В качестве “нулевой” выберем линейную функцию

0 x 0 1 0 x .

Остальные пробные функции:

1 x x 1 x,

2 x x 1 x2 ,

3 x x 1 x3 ,

k x x 1 xk .

Для рассматриваемого уравнения, в отличие от выражения (3.22), функция

Здесь учтено, что

62