Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Boyarshinov_ChM_T2

.pdf

Скачиваний:

308

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

2.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

На рис. 6.15 показана последовательность решений нелинейной системы уравнений (6.43) - (6.44). Сравниваются решения с последовательно

уменьшаемыми

шагами.

рассматриваемом

случае

V V

( k )

, H H

( k )

(k 1)

k - номер варианта из табл. 6.2.

; V

, H H

Таблица 6.2.

Соотношения между шагами интегрирования по времени и координате h при анализе сходимости численных решений.

	Вариант	h, м			t, с

	1	2.0			0.2
	2	1.0			0.1
	3	0.5			0.05
	4	0.25			0.025
	5	0.125			0.0125

На рис.	6.16 представлена сходимость решений V, H						линеаризованной
системы (6.47) к решениям		~ ~	нелинейной системы уравнений (6.43) - (6.44)
системы (6.47) к решениям		V , H	нелинейной системы уравнений (6.43) - (6.44)
при одних и тех же значениях шагов				и h. На рис. 6.17 отражена сходимость
решений V,	H линеаризованной системы (6.47) к решению					~ ~
решений V,	H линеаризованной системы (6.47) к решению					V , H нелинейной

системы (6.43) - (6.44), соответствующему пятому варианту табл. 6.2.

Приведенные результаты позволяют сделать вывод о том, что метод Ньютона дает сходящуюся последовательность решений при равномерном уменьшении шагов разностной сетки. Это дает основание предположить, что при t 0 и h 0 численное решение сходится к точному. Линеаризованные уравнения дают последовательность решений, сходящуюся к последовательности решений нелинейной системы, что также дает основание считать линеаризованное решение сходящимся к точному.

Если принять решение c h=0,125 м и =0,0125 с за наиболее точное, то погрешность в 10 % линеаризованное решение позволяет получить при h=5 м и=0,5 с, что в несколько раз сокращает затраты на проведение вычислительных экспериментов.

1.03

1.02

1.01

1
ds=2,	1,	0.5,	0.25,	0.125,
dt=0.2	0.1	0.05	0.025	0.0125

Рис. 6.15. Оценки H ( -о- ) и	V ( - - ) сходимости решения при использование
метода Ньютона для решения нелинейной системы уравнений.
1.04
1.03
1.02
1.01
1
ds=2,	1,	0.5,	0.25,	0.125,
dt=0.2	0.1	0.05	0.025	0.0125

Рис. 6.16. Оценки h ( -о- ) и v ( - - ) сходимости линеаризованного решения к решению нелинейной задачи.

1.06
1.04
1.02
1
ds=2,	1,	0.5,	0.25,	0.125,
dt=0.2	0.1	0.05	0.025	0.0125
Рис. 6.17. Оценки h ( -о- ) и	v ( - - ) сходимости линеаризованного решения к

наиболее точному решению нелинейной задачи.

Для оценки адекватности описания математической моделью реального процесса течения жидкости произведено сопоставление численного решения с экспериментальными данными. Вычислительный эксперимент проводился для участка коллектора, не имеющего разветвлений и состоящего из нескольких труб разной длины. Характеристики30 участка коллектора приведены в табл. 6.3.

Таблица 6.3.

Характеристики отдельных участков трубопровода городского коллектора

Номер	Длина, м	Перепад высот,	Диаметр, м	Материал
участка		м

1	53.3	0.04	1.0	железобетон

30 Данные предоставлены Е. Г. Офрихтером.

2	30.8	0.2	1.0	железобетон
3	40.6	0.21	1.0	железобетон
4	78.2	0.56	1.0	железобетон
5	34.8	0.07	1.0	железобетон
6	43.4	0.66	1.0	железобетон
7	74.8	1.14	1.0	железобетон

Замеры концентраций примесей в контрольных точках производились одновременно; течение в рассматриваемый промежуток времени являлось стационарным. Предполагается, что в начальный момент времени трубопровод заполнен водой без примесей.

Для моделирования движения примесей в точках сброса (рис. 6.18) "вводилось" вещество с концентрацией Cmax в точке 1, 0,5Cmax в точке 2 и 0,7Cmax в точке 3. Расчетные значения концентрации примеси в потоке жидкости в зависимости от времени и расстояния представлены на рис. 6.19.

Результаты вычислительного эксперимента показывают распространение двух волн концентраций из контрольных точек, а также наложение волн друг на друга. Различие численных и экспериментальных результатов определения концентрации составило менее 5% .

Cmax (точка № 1)

0,5Cmax	0,7Cmax
(точка № 2)	(точка № 3)

Рис. 6.18. Расчетная схема трубопровода с указанием точек внесения примесей в поток

Разработанная модель позволяет определять глубину и скорости движения потока, концентрации переносимых примесей, отслеживать изменение этих величин с течением времени. Серия вычислительных экспериментов позволила оценить область устойчивости модели. Сопоставление расчетных значений с экспериментальными данными показало адекватность компьютерной модели реальному процессу.

C/Cmax

0.6
0.3
0
0	60		120
0.1 с	10 с	20 с	30 с

180

240

300

Длина, м

40 с

50 с

60 с

70 с

80 с

Рис. 6.19. Графики изменения концентрации примеси по длине трубопровода в зависимости от времени.

Моделирование состояния проволоки при знакопеременном изгибе с натяжением

Получение высокопрочной арматурной проволоки с заданным комплексом физико - механических свойств (низкая релаксация, высокий предел текучести) возможно в случае применения специальной операции - стабилизации, которая заключается в том, что проволоку в нагретом состоянии подвергают осевому растяжению с остаточной деформацией до 3 %.

Однако получить большую вытяжку только за счет растяжения практически невозможно из-за опасности обрыва проволоки. В связи с этим представляет интерес применение теплой деформации знакопеременным изгибом с натяжением в двухплоскостном роликовом устройстве.

Необходимо отметить, что при моделировании такого процесса во многих случаях применяются схемы статического изгиба, известные из классических курсов сопротивления материалов. Однако показано [21], что для указанных процессов напряженно - деформированное состояние в проволоке является не функцией положения частицы, а функционалом, так как зависит от предыстории нагружения этой частицы.

Для построения модели [22] процесса деформирования проволоки знакопеременным изгибом в двух взаимно перпендикулярных плоскостях ZOY и ZOX (рис. 6.20) часть проволоки между волокой 1 и тянущим барабаном 12 представляется как многопролетная балка со смещенными опорами, нагруженная растягивающим усилием.

На основе анализа имеющихся теоретических и экспериментальных данных приняты следующие гипотезы. В процессе деформирования все поперечные сечения проволоки остаются плоскими. Принимается схема одноосного напряженного состояния: отлична от нуля только продольная составляющая тензора напряжения. Поведение материала проволоки следует положениям теории пластического течения

Ex *p ,	(6.48)
где Ex *p - хордовый модуль,	определяемый по диаграмме одноосного

растяжения материала; *p - накопленная пластическая деформация. Исследуемый процесс считается стационарным и квазистатическим (динамическими эффектами пренебрегаем); в условиях установившегося процесса траектории частиц совпадают с линиями тока, причем последние принимаются эквидистантными линии центров тяжести поперечных сечений проволоки. Трение в опорах пренебрежимо мало, контакт проволоки и роликов точечный.

189

Рис. 6.20. Схема двухплоскостного рихтующего устройства

С учетом принятых гипотез исходная задача может быть сведена к двум связанным между собой задачам: исследованию изгиба многопролетной балки с переменными по объему свойствами, причем свойства определяются историей деформирования движущихся по линиям тока частиц; определению напряженно - деформированного состояния состояния частиц материала, движущихся по линиям тока, причем линии тока определяются решением первой задачи.

Для решения первой задачи (в предположении, что свойства материала в каждой точке исследуемой области известны) многопролетная балка 1 - 12 расчленяется на ряд однопролетных 1 - 2, 2 - 3, и так далее с заменой отброшенных пролетов реакциями связей (рис. 6.21). При этом неизвестное давление со стороны валков включается в искомые реакции связей.

Следует отметить, что обычное дифференциальное уравнение изгиба нейтральной линии здесь неприменимо, поскольку при упругопластическом изгибе положение нейтральной линии заранее неизвестно, а следовательно, возникают трудности с заданием граничных условий. Поэтому целесообразно определять деформацию в сечении проволоки через деформацию линии центров тяжести

T t 1 T .

(6.49)

190

Рис. 6.21. Схема расчленения многопролетной балки на однопролетные

Напряженно - деформированное состояние каждой однопролетной балки определяется (в случае изотермического деформирования)

- статическими уравнениями равновесия реакций связей

Z i 1

Z i 0,

i 1

~ i 1

(6.50)

i 1

sin

cos

i 1,N;

- дифференциальным уравнением изгиба линии центров тяжести (в приращениях)

2u i

Ext

i 1

2 1 T

(6.51)

Z i

cos i

Y i

sin i u i

T ExtdF, i 1,N;

- условием постоянства растягивающего усилия по длине проволоки

	T	E	dF 1			E	tdF 0;	(6.52)
	T	x		T		x		(6.52)

-условиями сопряжения линии центров тяжести соседних пролетов на опорах

191

tg i

du i 1

du i

d i 1

i 1 0

, i 1,N 1;

(6.53)

i 1

i Li

1 tg i

d i 1

i 1

- граничными условиями для функции прогибов

i 0

i Li

i 1,N;

(6.54)

2u i 1

d2u i

, i 1,N 1;

i 1

- силовыми граничными условиями

Z N 1 T,

M 1

M N 1

(6.55)

В приведенных выражениях N - число пролетов; t - расстояние в плоскости поперечного сечения от частицы материала до плоскости, проходящей через центр тяжести сечения перпендикулярно плоскости изгиба и плоскости поперечного сечения; T - усилие натяжения проволоки;

u i , T , i d2u i d i 2	- смещение, деформация и кривизна линии центров
тяжести i - го пролета.

Таким образом, для определения изогнутой линии центров тяжести необходимо решить совместную систему уравнений (6.50) - (6.55), при этом дифференциальное уравнение изгиба (6.51) с помощью метода конечных разностей заменяется системой алгебраических уравнений относительно значений функций прогибов во всех внутренних точках j-1, j, j+1, j+2 по длине пролета:

uji

2uji 1 u

ji 2

1 Tj 1

uji 1 2uji

uji 1

dF M

i 1

1 Tj Ext

Z i

cos i

Y i sin i u i

T ExtdF,

j 2,Mi

i 1,N,

Mi - число узловых точек в i-ом пролете.

Аппроксимация граничного условия (6.53) имеет вид

192

Ex *p

i 1

u i 1

Mi 1

i 1,N 1

i 1

1 tg i

i 1

Для определения напряженно - деформированного состояния частиц материала проволоки используется совместный эйлерово - лагранжев подход. Согласно принятым гипотезам движение материальных частиц происходит по траекториям, совпадающим с линиями тока. Зная положение конкретной частицы t, зависимость кривизны ( ) и деформации T( ) проволоки от продольной координаты, согласно равенству (6.49) можно подсчитать деформацию , а значит с использованием равенства (6.48) и напряжение этой частицы, прослеживая ее движение вдоль траектории. Это позволяет исследовать историю нагружения всех материальных частиц, определить величины *p , Ex *p .

Связанность двух указанных задач заключается в том, что для решения

задачи изгиба требуется знание по всему объему проволоки, а для исследования напряженно - деформированного состояния необходимо знать изменение кривизны ( ) проволоки по длине. Для решения связанной задачи используется итерационная процедура. На первой итерации предполагается, что материал проволоки идеально упругий, Ex полагается равнм модулю упругости E. Решением системы уравнений (6.50) - (6.55) определяются реакции связей Yi, Zi, Mi на концах пролетов, прогибы и кривизны линии центров тяжести по длине пролетов. Сечение проволоки представляется совокупностью конечного числа элементарных ячеек, в пределах каждой ячейки напряженно - деформированное состояние материала предполагается однородным. Перемещаясь вместе с каждой такой ячейкой вдоль ее траектории, прослеживаем историю

деформирования, определяем и уточняем T( ) согласно выражению (6.52). Далее, зная значение хордового модуля в каждой точке проволоки, можно подсчитать коэффициенты в дифференциальном уравнении изгиба (6.51). Затем вновь решить систему уравнений (6.50) - (6.55), определить реакции связей, кривизну проволоки и так далее, до тех пор, пока для двух последовательных итераций n и n+1 выполняется условие

max pn pn 1	,		(6.56)
x
где - заданная величина погрешности;		- объем, занимаемый проволокой;
p , , , u	- вектор состояния материала в		какой-либо точке

проволоки.

Для оценки сходимости итерационной процедуры проведен вычислительный эксперимент. За основу взята задача о правке на трехроликовой правильной машине бруса прямоугольного поперечного сечения из идеально упругопластического материала, аналитическое решение которой

193

известно [21]. При выполнении расчетов принято, что высота бруса 0.05 м, ширина 0.03 м, предел текучести 200 МПа, модуль упругости 200 ГПа, длина роликовой машины 1 м, смещение центрального ролика -0.01 м, начальная кривизна бруса отсутствует.

Сходимость решения исследовалась на последовательности разностных сеток, состоящих из 5, 10, 15, ..., 40 узлов на каждом пролете, а также последовательности сеток из 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 512 конечных элементов, аппроксимирующих область, занятую поперечным сечением профиля.

На рис. 6.22 приведены результаты вычислительного эксперимента. Видно, что усилие на центральной опоре практически во всех случаях близко к точному значению (14550 Н), наибольшая погрешность не превышает 7 %. Наибольшая кривизна бруса (точное значение - 0.133 м-1 достигается на центральной опоре) более чувствительна к числу узлов конечно - разностной сетки, нежели по отношению к числу конечных элементов в плоскости поперечного сечения, что по-видимому связано с малой точностью аппроксимации вторых производных функции прогибов при малом числе узлов.

Число конечных элементов определяет точность подсчета коэффициентов дифференциального уравнения (6.51) упругопластического изгиба. Как показывают расчеты, влияние аппроксимации поперечного сечения конечными элементами сказывается лишь до определенного их числа. В рассматриваемом примере с брусом оказалось достаточно лишь 32 треугольных элементов; дальнейшее увеличение их числа практически не влияет на получаемые результаты.

Следует отметить, что сходимость итерационной процедуры разработанного алгоритма имеет немонотонный характер (рис. 6.23).

Изложенный подход позволяет исследовать процесс знакопеременного изгиба профиля любого сечения независимо от вида упрочнения материала, дает возможность проследить историю деформирования материальных частиц от начала до конца процесса. Напряженно - деформированное состояние всех точек сечения проволоки в момент окончания знакопеременного изгиба и снятия растягивающего усилия представляет собой не что иное, как остаточные напряжение и деформацию в готовой проволоке. Решение задачи в такой постановке дает информацию об изгибающих моментах и усилиях на роликах, об остаточной кривизне, вытяжке проволоки.

194

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.03.2016105.07 Кб48bilety_fkhma (1).docx
#
22.09.2019260.61 Кб1bilety_po_istorii1_1.doc
#
29.03.2015539.41 Кб6bilety_sgmu.docx
#
29.03.2015545.25 Кб5bilety_sgmu.docx
#
13.03.20161.32 Mб130Boyarshinov_ChM_T1.pdf
#
13.03.20162.93 Mб308Boyarshinov_ChM_T2.pdf
#
13.03.20161.69 Mб99Boyarshinov_ChM_T3.pdf
#
21.08.201955.81 Кб6British Etiquette and Manners.doc
#
01.05.2019559.62 Кб4budget.doc
#
29.03.20153.3 Mб25buhgal.pdf
#
13.03.20162.22 Mб111Bulevy_funktsii_vse_paragrafy.doc