Boyarshinov_ChM_T2

z x ~y x y x ~y0 y0 ekx

x

и различие между решениями увеличивается с ростом аргумента x (рис. 2.1б).

Рис. 2.1. Примеры сходимости (а) и расходимости (б) решений действительного (нижние кривые) и возмущенного при начальных условиях (верхние кривые).

Метод Пикара4

Проинтегрируем уравнение (2.1) с помощью разделения переменных:

dy f x,y dx,

Используя последнее соотношение, построим итерационный процесс:

Интеграл в правой части процедуры (2.4) вычисляется точно или численно.

университета. С 1895 член-корреспондент Петербургской академии наук; с 1889 - член Парижской академии наук; с 1924 года - член Французской академии наук; с 1925 года - почетный член академии наук СССР.

11

приближения, и так далее. Становится очевидным, что получаемая последовательность решений представляет собой частичные суммы разложения

Вычитая из соотношения (2.5) уравнение (2.4), определим погрешность приближенного решения:

x

z(k) x y(k) x y x f x,y(k 1) t f x,y t dt .

0

Оценим модуль погрешности:

12

K y(k 1) t y t dt K z(k 1) t dt .

0 0

приходим к заключению, что погрешность решения уменьшается с увеличением числа итераций:

z(n) x H (KT)n 0, n! n

то есть метод Пикара сходится к точному единственному решению исходной задачи.

Метод Эйлера

Пусть для отрезка [a, b], на котором ищется решение дифференциального

постоянным шагом h. Для построения решения уравнения (2.1) воспользуемся разложением искомой функции y(x) в ряд Тэйлора вблизи произвольной точки xk n :

y xk 1 y xk y xk h

13

Учитывая, что согласно уравнению (2.1) y xk f xk ,y xk , это разложение решения можно записать в виде

y xk 1 y xk f xk ,y xk h

С помощью полученного выражения построим вычислительный процесс

В этом частном случае правая часть дифференциального уравнения имеет вид f x,y y, то есть схема (2.6) записывается следующим образом:

Для оценки точности получаемого численного решения производятся вычисления с различными шагами интегрирования h (табл. 2.1). Точное решение y x e x , например, для x=10 дает значение y(10)=0,4539992976·10-4.

14

Верные три значащие цифры получены для шага h = 0,0001, при этом требуется выполнить 100000 “шагов” по аргументу x, то есть выполнить вычислений в соответствии с формулой (2.6).

Для оценки точности решения, как и ранее, представим погрешность в

виде

zk yk y xk ,

определяющем отклонение численного решения по схеме Эйлера от точного.

Выражение в квадратных скобках представляет собой разностный аналог (2.7), в котором приближенные значения yk искомой функции заменены на точные значения y(xk). Это позволяет проверить, как точно разностный аналог (2.7) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (2.1).

Величина

носит название погрешности аппроксимации исходного дифференциального уравнения разностным аналогом. Для оценки этой погрешности подставим разложение решения в ряд Тэйлора

в формулу (2.9):

15

h

y xk y xk 2 f xk,y xk

Учтем, что согласно исходному уравнению y xk f xk ,y xk . Тогда

h

k y xk 2 O h .

При условии, что значения y xk ограничены на отрезке [a, b], погрешность аппроксимации оказывается величиной, пропорциональной первому порядку шага интегрирования.

В общем случае порядок аппроксимации равен p, если имеет место

Полученное неравенство соответствует критерию устойчивости по начальным данным, fy 0, полученному ранее. Далее, с учетом выполнения условия Липшица f x,y2 f x,y1 Ky2 y1 , оценим производную

16

Учитывая условие устойчивости решения, fy 0, получаем:

K fy 0.

Теперь из неравенства (2.10) можно получить:

Следовательно, чтобы не нарастала погрешность вычислений, необходимо ограничивать величину шага интегрирования.

17

Метод Рунге - Кутты5

Для построения разностной схемы интегрирования воспользуемся разложением решения задачи (2.1) в ряд Тэйлора:

наибольшей точности записанного выражения. Для дальнейших выкладок

произведем замену величины ~ разложением в ряд Тэйлора y

~

y y xk x y xk y xk x

Для исходного уравнения (2.1) построим вычислительную схему:

h2

yk 1 yk f xk,yk h 2 x f xk x,yk yk x f xk,yk ,

которую преобразуем к виду

Очевидно, что все введенные коэффициенты зависят от величины x и могут быть определены через , который в этом случае играет роль параметра,

Окончательно схема Рунге-Кутты принимает вид

5 Кутта Мартин Вильгельм [3.11.1867 - 25.12.1944] - немецкий физик и математик, был профессором Высшей технической школы Штудгарта.

19

Та же схема в форме разностного аналога уравнения (2.1):

При = 0 получаем как частный случай уже известную схему Эйлера

yk 1 yk h f xk ,yk .

При = 1 выражение (2.11) записывается в форме

В этом случае проведение расчетов на очередном шаге интегрирования можно рассматривать как последовательность следующих операций (рис. 2.2):

1. Вычисляется выражение

h

yk 1/2 yk 2 f xk ,yk ,

представляющее собой полушаг интегрирования по схеме Эйлера, то есть

определяется приближенное значение искомой функции в точке xk h . 2

3. Определяется уточненное значение функции в конечной точке всего шага, причем по схеме Эйлера с вычисленным на предыдущем шаге значением производной,

yk 1 yk h yk 1/2 .

Геометрические построения показывают, что получаемое в такой последовательности решение лежит “ближе” к истинному, чем вычисляемое по схеме Эйлера, то есть следует ожидать более высокой точности решения, получаемого методом Рунге-Кутты.

y

yk+1

20