Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Теорема 39.1. Если:

1) функция х = cp(t) и ее производная х' = 1.p'(t) непрерывны при

t Е [а; ;J);

2)множеством значений функции х = cp(t) при t Е [а, ;JJ является отрезок [а; Ь];

3)ср(а) =а и cp(;J) = Ь,

деленном интеграле. Отметим, что:

1)при вычислении определенного интеграла методом подстановки

возвращаться к старой переменной не требуется;

2)часто вместо подстановки х = cp(t) применяют подстановку t =

=g(x);

3)не следует забывать менять пределы интегрирования при замене

переменных!

При.мер 39.1. Вычислить J2 x 2 J4 - х2 dx.

о

Q Решение: Положим х = 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt. Если х = О, то t =О; если х = 2, то t =~-Поэтому

j2 х2 J4 - х2 dx = 1jГ/2 4 sin2 tV4 - 4 sin2 t · 2 cos t dt =

оо

270

=2(t1;12 - ~sin4tl;12) = 2(~ - О)= 1Г. 8

39.3.Интегрирование по частям

Q На отрезке [а;Ь] имеет место равенство (uv)' = и'v + uv'. Следо­

вательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u'v + uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Формула (39.2) называется формуло11. интегрирования по 'Частям

для определенного интеграла.

Пример З9.2. Вычислить Jе xlnxdx.

1

Q Решение: Положим

271

Применяя формулу (39.2), получаем

о

Q Решение: Интегрируем по частям. Положим

о

39.4.Интегрирование четных и нечетных функций

в симметричных пределах

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном

Q Разобьем отрезок интегрирования [-а; а] на части [-а; О] и [О; а]. То­

гда по свойству аддитивности

В первом интеграле сделаем подстановку х = -t. Тогда

(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения

переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), полу-

чим

272

§ 40. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ь

Определенный интеграл Jf(x) dx, где промежуток интегрирова-

а

ния [а; Ь] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], называют еще собствен:ным интегралом.

~Рассмотрим так называемые несобсmвен:ные интегралы, т. е.

определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконеч­

ным промежутком интегрирования или определенный интеграл с ко­

нечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

40.1.Интеграл с бесконечным промежутком

интегрирования (несобственный интеграл 1 рода)

Пусть функция f (х) непрерывна на промежутке [а; +оо). Если

+оо

В этом случае говорят, что несобственный интеграл J f(x) dx схо-

а

дитс.я. Если же указанный предел не существует или он бесконечен,

+оо

то говорят, что интеграл J f(x) dx расходится.

а

273

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке

(-оо; Ь]:

ьь

сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функ­

+оо

ция f(x) ~ О на промежутке [а; +оо) и интеграл j f(x) dx сходит-

а

ся, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной тра-

пеции (см. рис. 171).

11

Внекоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; до­

статочно лишь знать, сходится ли он или нет.

Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.

274

Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +оо)

менно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Пример 40.З. Исследоватьсходимость интеграла +Jооln х2 + 2 dx.

х2 +1

1

275

40.2.Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл 11 рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; Ь) и имеет бес­

конечный разрыв при х = Ь. Если существует конечный предел

Ь-с:

lim J f(x) dx, то его называют несобствен:н:ы.м интегралом второго

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл

ь

Jf(x) dx сходите.я. Если же указан:ый предел не существует или бес-

~онечен, то говорят, что интеграл Jf(x) dx расходится.

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несоб­

ственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

В случае, когда f(x) > О, несобственный интеграл второго рода

ь

j f(x) dx (разрыв в точкех = Ь) можно истолковать геометрически как

а

площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 172).

1

Пример 40.4. Вычислить J;-.

о

276

Q Решение: При х = О функция у = .Ь терпит бесконечный разрыв;

х

о

277

§ 41. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

41.1. Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или

физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жид­ кости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [а; Ь]

изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта вели­

чина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; Ь] точкой с Е (а; Ь) на части [а; с] и [с; Ь] значение величины А, соответствующее всему отрезку [а; Ь], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с]

и [с; Ь].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной

из двух схем: I схема (или метод интеграл:ьн:ых сумм) и П схема (или метод дифференv,иала).

Первая схема базируется на определении определенного инте­

грала.

1. Точками х0 = а, х1 , . .• , Хп = Ь разбить отрезок [а; Ь] на n частей.

В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на п

«элементарных слагаемых» дАi (i = 1, ... , п): А= ЛА1 + дА2 + ...

... +ЛАп.

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произ­

ведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычи­

сленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:

ЛАi ~ f(ci)Лxi.

При нахождении приближенного значения ЛАi допустимы некото­

рые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стя­ гивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно

приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной

суммы:

п

А~ f(с1)дх1 + ... + f(сп)Лхп = L f(ci)Лxi.

i=l

3. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении инте­

грала как о сумме бескон,е-ч,ио большого числа бесконечно мал'ьtХ слага­

емых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физи­

ческого смысла определенного интеграла.

278

Втора.я схема представляет собой несколько видоизмененную схе­ му I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания

бесконечно малых высших порядков»:

1) на отрезке [а; Ь] выбираем произвольное значение х и рассматри­ ваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становит­ ся функцией х: А= А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х), где х Е [а; Ь] - один из параметров

величины А;

2) находим главную часть приращения ЛА при изменении х на

малую величину дх = dx, т. е. находим дифференциал dA функции

А = А(х): dA = f(x) dx, где f(x), определяемая из условия задачи,

функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что dA ~ ЛА при дх --+ О, находим искомую величину

путем интегрирования dA в пределах от а до Ь:

ь

А(Ь) =А= j f(x) dx.

а

41.2. Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координаты

Как уже было установлено (см. «геометрический смысл опреде­

ленного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположен­

ной «выше» оси абсцисс (! (х) ~ О), рав-

аа

х =а, х = Ь, у =О (см. рис. 173). Для нахождения площади S этой

трапеции проделаем следующие операции:

1.Возьмем произвольное х Е [а; Ь] и будем считать, что S = S(x).

2.Дадим аргументу х приращение дх = dx (х + дх Е [а; Ь]). Функ­ ция S = S(x) получит приращение ЛS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).

Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ЛS

при дх --+ О, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основа­ нием dx и высотой у: dS =у· dx.

279