Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, что

производная равна нулю. Действительно,

~(Q(x;y)- ~(jP(x;y)dx)) = ~~ -:x(~(JP(x;y)dx)) =

Подставляя найденное значение для 'Р(У) в равенство (48.21), находим

liJ Таким образом, при решении ДУ вида (48.17) сначала проверяем выполнение условия (48.19). Затем, используя равенства (48.20),

находим функцию и(х;у). Решение записываем в виде (48.18).

Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифферен­ циалах. Условия (48.20) будут здесь выглядеть как

340

Если условие (48.19) не выполняется, то ДУ (48.17) не является уравнением в полных дифференциалах.

Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в пол­ ных дифференциалах умножением его на некоторую функцию t(x; у),

называемую интегрирующим мнrоtеителем.

Чтобы уравнение t(x; у) · Р(х; у) dx + t(x; у) · Q(x; у) dy = О было

уравнением в полных дифференциалах, должно выполняться условие

д д

ду (t(x; у)· Р(х; у))= дх (t(x; у)· Q(x; у)).

Выполнивдифференцирование gi ·Р+ i~·t = g~·Q+ ~·t и приведя

подобные слагаемые, получим

Для нахождения t(x; у) надо проинтегрировать полученное ДУ в

частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить су­ ществование t как функции только одного аргумента х либо только у.

Пусть, например, t = t(x). Тогда уравнение (48.23) принимает вид

а подынтегральное выражение должно зависеть только от у.

Пример 48.12. Решить уравнение (x 2 -y)·dx+(x2 y2 +x)·dy =О.

зависит только от х.

341

Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, за­ висящий только от х, выражение которого может быть получено при

помощи формулы (48.24). В нашем случае получим, что

t(x) = ехр(-J~dx) = exp(-2ln lxl) = : 2 •

Умножая исходное уравнение на t =~'получаем:

х

( 1 - : 2 ) dx + (у2 + ~)dy = О,

т.е. уравнение в полных дифференциалах! Решив его, найдем, что об­

щий интеграл заданного уравнения имеет вид

ууз

48.б. Уравнения Лагранжа и Клеро

Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные отно­ сительно производной. К ним, в частности, относятся уравнения Ла­ гранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжа

Уравнение (48.27) есть линейное уравнение относительно неизвестной

функции х = х(р). Решив его, найдем:

342

Исключая параметр риз уравнений (48.26) и (48.28), получаем общий

интеграл уравнения (48.25) в виде у= 1(х;с).

р = р0 = const. Это значение р0 является корнем уравнения p-ip(p) =О

(см. (48.27)).

Решение у= х·~р(р0)+ф(р0) является особимдля уравнения (48.25)

(см. понятие особого решения в п. 48.2).

Уравнение Клеро

Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при ip(y') =у'.

Это решение - особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

При.мер 48.13. Решить уравнение Клеро у= ху' + у'2•

Q Решение: Общее решение, согласно формуле (48.31), имеет вид у=

= сх + с2 • Особое решение уравнения получаем согласно формулам

343

§49. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ

ПОРЯДКОВ 49.1. Основные понятия

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записыва-

ется в виде

или, если это возможно, в виде, разрешеппом относительно cmapшeti производноu:

Будем в основном рассматривать уравнение вида (49.2): от него

всегда можно перейти к (49.1).

~Решением ДУ (49.2) называется всякая функция у= ч::~(х), кото­

рая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

~Общим решениемДУ (49.2) называется функция у= ч::~(х; с1 ; с2),

где с1 и с2 - не зависящие от х произвольные постоянные, удовле­

творяющая условиям:

1. ч::~(х; с1 ; с2) является решением ДУ для каждого фиксированного

значения с1 и С2.

2. Каковы бы ни были начальные условия

существуют единственные значения постоянных с1 = с~ и с2 = cg такие, что функция у= ч::i(x;c?;cg) является решением уравнения (49.2) и

удовлетворяет начальным условиям (49.3).

~Всякое решение у= ср(х; с?; 4) уравнения (49.2), получающееся из

общего решения у = ср(х; с1; с2) при конкретных значениях посто­

янных с1 = с?, с2 = cg, называется частным решением.

Решения ДУ (49.2), записанные в виде

Ф(х; у; с1; с2) =О, Ф(х; у; с~; 4) =О,

называются общим и 'Частным интегра.п.ом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется инте­

гра.лъноu кривоu. Общее решение ДУ (49.2) представляет собой мно­

жество интегральных кривых; частное решение - одна интегра.пьная

кривая этого множества, проходящая через точку (хо; у0) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом у'(хо) = УЬ·

Переписав ДУ (49.1) в виде

344

видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координа­

тами точки (х; у) интегральной кривой, угловым коэффициентом k =у'

касательной к ней и кривизной К= -у",2 312 в точке (х; у). В этом

(1 +у )

состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения

решения ДУ (49.2), удовлетворяющего заданным начальным услови­

ям (49.3), называется зада-ч,е11. Коши.

Теорема 49.1 (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении {49.2) функция f(x;y;y') и ее частные производные f~ и /~, непрерывны в некоторой области D изменения переменных х, у и у', то для всякой точки (х0; у0; уЬ) Е D существует единствен­ ное решение у= <р(х) уравнения {49.2), удовлетворяющее начальным условиям {49.3).

Примем теорему без доказательства.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ п-го порядка, которое в общем виде записывается ка

если его можно разрешить относительно старшей производной.

Начальные условия для ДУ (49.4) имеют вид

Общее решение ДУ п-го порядка является функцией вида

содержащей п произвольных, не зависящих от х постоянных.

Решение ДУ (49.4), получающееся из общего решения при конкрет­

ных значениях постоянных с1 = с?, с2 = с~, ... , Сп = с~, называется

-ч,астн.ым решением.

Зада"iа Коши для ДУ п-го порядка: найти решение ДУ (49.4), удо­ влетворяющее начальным условиям (49.5).

Проинтегрировать (решить) ДУ п-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того,

заданы начальные условия или нет.

Задача нахождения решения ДУ п-го порядка сложнее, чем перво­ го. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.

345

49.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является

.метод пони:ж:ения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью

замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению,

порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение по­

рядка.

1. Пусть дано уравнение

Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у1 = = р(х). Тогда у" = р'(х) и получаем ДУ первого порядка: р1 = j(x). Решив его, т. е. найдя функцию р = р(х), решим уравнение у1 = р(х).

Получим общее решение заданного уравнения (49.6).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредствен­

но путем последовательного интегрирования уравнения.

d 1

Так как у11 = (у')1 = ~· уравнение (49.6) можно записать в ви-

де dy' = f(x) dx. Тогда, интегрируя уравнение у11 = f(x), получаем:

у'= Jf(x) dx, или у' = r.p1 (х) +с1. Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: у= J(r.p1(x) + с1) dx, т. е. у= r.p2(x) + с1х + с2 -

общее решение данного уравнения. Если дано уравнение

y(n) = f(x),

то, проинтегрировав его последовательно п раз, найдем общее решение

n-1 n-2

уравнения: у= 'f!n(x) + С1 • (: - l)! + С2 • (: _ 2)! + ···+ Cn.

При.мер 49.1. Решить уравнение y1 v = sin2x.

Q Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравне­

ние, получим

346

не содержащее .явно иско.моii, функции у.

Обозначим у' = р, где р = р(х) - новая неизвестная функция.

няя функцию р на у', получаем ДУ: у'= ср(х;с1 ). Оно имеет вид (49.6).

не содержащее также и независимую переменную*. х. Оно интегрируется

темже способом: у' = р(х), у11 = р' = Получаемуравнениер' = f (р)

с разделяющимися переменными.

которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок мож­

но понизить на k единиц, положив y(k) = р(х). Тогда y(k+l} = р'; ... ; y(n} = p(n-k) и уравнение (49.9) примет вид F(x;p;p'; ... ;p(n-k}) =О.

Частным случаем уравнения (49.9) является уравнение

F(x; y(n-1); y(n)) =О,

или

1y(n) = f(x; y(n-1)). J

С помощью замены y(n-l) = р(х), y(n) = р' это уравнение сводится к

ДУ первого порядка.

1

Пример 49.2. Решить уравнение у11 - 'lL =О.

х

Q Решение: Полагаем у'= р, где р = р(х), у"= р'.

Тогда р' - 1.!. = О. Это уравнение с разделяющимися переменны­

ln IPI = ln lc1xl, р = с1х. Возвращаясь к исходной переменной, получим

347

которое не содержит явно независи.моii nеременноit х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р =

= р(у), зависящую от переменной у, полагая у'= р. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р = р(у(х)):

11 d(y') dp(y) dp(y) dy dp(y)

у =--=--=--·-=--·р,

dx dx dy dx dy

т. е. у"=р·~· Теперь уравнение (49.10) запишется в видер·~=f(у;р).

Пусть р = ip(y; с1) является общим решением этого ДУ первого поряд­ ка. Заменяя функцию р(у) на у', получаем у' = ср(у; с1) - ДУ с раз­

деляющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл

Частным случаем уравнения (49.10) является ДУ

1у" = !(у)./

Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у' =

= р(у), у"=р. ~-

Так же поступаем при решении уравнения F(y; у'; у"; ... ;y(n)) =О.

Его порядок можно понизить на единицу, положив у' = р, где р = р(у).

По правилу дифференцирования сложной функции находим у" = р~.

За.ме'Чание. Уравнение (49.8) также можно решать, применяя под­

становку у' = р, где р = р(у).

Пример 49.3. Найти частное решение уравнения

у" - (у')2 + у'(у - 1) =о,

удовлетворяющее начальным условиям: у(О) = 2, у'(О) = 2.

348

Так как р f О (иначе у' = О, что противоречит начальному условИю

у'= 2), то~ -р+у-1 =О- получилилинейноеДУ первого порядка.

Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли

(п. 48.4). Полагаем р = и · v. Имеем: u'v + uv' - uv +у - 1 = О, или

и'v + u(v' - v) = 1 - у.

Подберем функцию v так, чтобы v' -v =О. Тогда dv = dy, v = еУ. v

Получаем:

и'· еУ +и· О= 1 - у, т. е. du = (1 - у) · е-У dy.

Интегрируя это равенство, находим, что и= -(1 - у)· е-У + е-У + с1 . Следовательно,

р=иv=((-1+у)е-У+е-У+с1)·е+У, или р=с1еУ+у.

Заменяя р на у', получаем: у'= с1 · еУ +у. Подставляя у'= 2 и у= 2 в

это равенство, находим с1:

2 = С1е2 + 2, С1 = 0.

49.З. Линейные дифференциальные уравнения высших

порядков

Основные понятия

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравне­

~где Ьо(х) f О, Ь1 (х), ... , Ьп(х),g(х) - заданные функции (от х),

называется д.uнеftн'ЫМ ДУ п-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в

первой степени. Функции Ь0(х), Ь1 (х), ... , Ьп(х) называются коэффии,и­

~Если свободный член g(x) =О, то уравнение (49.11) называется д.uнеftн'ЫМ однородним уравнением; если g(x) f О, то уравне­g(x) -(49.11), а функцияентами уравнения его свободным 'Членом.

349