Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Q Решение: Применим подстановку sin х = t. Тогда х = arcsin t, dx =

=- 2t2 +lnltl +С= - 2 ·ctg2 x+lnjtgxl +С. 8

32.3.Использование тригонометрических преобразований

Интегра.л:ы типа j sin ах · cos Ьхdx, j cos ах · cos Ьхdx,

j sin ах· sin Ьхdx вычисляются с помощью известных формул тригоно­

метрии:

sina:cos,8 = ~(sin(a: - ,8) + sin(a: + ,8)),

250

1

cosacos/1 = 2(cos(a - /1) + cos(a + /1)), sinasin/1 = 21 (cos(a - /1) - cos(a + /1)).

Пример 32.6. Найти интеграл I = Jsin8xcos2xdx.

§33. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ

ФУНКЦИЙ

33.1.Квадратичные иррациональности

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррацио­ нальные функции.

называют неопределенными интегралами от квадратичных иррацио­

нальностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом вы­

делить полный квадрат

ах2 +Ьх +с=

и сделать подстановку х+ ;а = t. При этом первые два интеграла при­

водятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.

251

Сделаем подстановку х + :! = t, х = t - :!,dx = dt. Тогда

ентами, .Л - также неопределенный коэффициент.

Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, по­

лучаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых сте­

пенях неизвестной х.

252

Дифференцируя это равенство, получаем:

т. е.

х2 := A(l - 2х - х2) +(Ах+ В)(-1- х) + >.,

х2 =А - 2Ах - Ах2 - Ах - В - Ах2 - Вх + >..

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Q Решение: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей i и !

есть 6. Поэтому полагаем х + 2 = t6 , х = t6 - 2, dx = 6t5 dt, t = Vx + 2.

253

Следовательно,

приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от три­ гонометрических функций, с помощью следующих тригонометри'Че­

254

33.4. Интегралы типа JR(x; Jax2 + Ьх +с) dx

Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция от­

носительно х и J ах2 + Ьх + с. Выделив под радикалом полный ква­

драт и сделав подстановку х + ;а = t, интегралы указанного типа

приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т. е. к интегралам

типа JR(t; Ja2 - t 2 ) dt, JR(t; Ja2 + t 2 ) dt, JR(t; Jt2 - а2)dt. Эти ин­

тегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометри­

ческих подстановок.

х ах2 +Ьх+с

дить с помощью подстановки х = t.

33.5. Интегрирование АИфференциального бинома

Интегралы типа f хт ·(а+ Ьхп)Р dx (называемые интегралами от

аифферен.циалъиого бшюма), где а, ь - действительные числа; m, п,

р - рациональные числа, берутся, как показал Чебышев П.А., лишь в

255

случае, когда хотя бы одно из чисел р, m + 1 или m + 1 + р является

2) если m + 1 - целое число, то подстановка а+ Ьхп = t 8 , где s -

п

знаменатель дроби р;

3) если m + 1 +р - целое число, то подстановка а + ьхn = xn . t 8 ,

п

где s - знаменатель дроби р.

Во всех остальных случаях интегралы типа Jxm(a + Ьхп)р dx

не выражаются через известные элементарные функции, т. е. «не бе­

рутся».

§ 34. «БЕРУЩИЕСЯ» И «НЕБЕРУЩИЕСЯ»

ИНТЕГРАЛЫ

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций зна­

чительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более корот­

ким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не един­ ственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих

искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тре­

нированности. Например, J~ можно найти, не используя реко-

соs х

256

мендуемую подстановку tg х = t, а применив искусственный прием:

разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Заметив, что числитель Зх2 +4х+1 является производной знаменателя х(х2 + 2х + 1) = х3 + 2х2 + х, легко получить:

На практике при вычислении неопределенных интегралов исполь­ зуют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных

интегралов» М. Л. Смолянского.

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функ­ цию для подынтегральной функции.

Как известно, всяка.я неnреривна.я функv,ия имеет первообразную.

В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции

f(x) является также элементарной функцией, говорят, что j f(x) dx

«берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции

(или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или «его найти нельзя»).

Так, например, нельзя взять интеграл j ,/Х · cosxdx, так как не

существует элементарной функции, производная от которой была бы

равна ,/Xcosx. Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, ко­

торые имеют большое значение в приложениях:

Jе-х2 dx - интеграл Пуассона (теория вероятностей),

JiC:x - интегральный логарифм (теория чисел),

257

....

Глава Vlll. ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ

1 Лекции 29-331

§ 35. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ

2. В каждом частичном отрезке [xi-liXi], i = 1,2, ... ,п выберем произвольную точку Ci Е [xi-1; Xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f(ci)·

i=l

~Сумма вида (35.1) называется ин.mеграл:ьн.оii. суммоii. функции у = f(x) на отрезке [а; Ь]. Обозначим через ,\ длину наибольшего

частичного отрезка: >. = max дхi (i = 1, 2, ... , п).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда п -+ оо так,

что,\-+ о.

~Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел 1, который не

зависит ни от способа разбиения отрезка [а; Ь] на частичные отрез­

ки, ни от выбора точек в них, то число 1 называется определен.ним

259