Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

или, коротко,

d2y1

-- = F2(x;y1;Y2; ... ;yn)· dx2

Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значе-

ния производных~'... , ~11;' из системы (52.1), получим

d3y1

- - =F3(х;у1;у2; ... ;уп)· dx3

Продолжая этот процесс (дифференцируем - подставляем - получа­

ем), находим:

(52.3)

dn

dxl(t =Fn(x;y1;y2; ... ;yn)·

Из первых (п-1) уравнений системы (52.3) выразим функции у2, уз, ...

... , Уп через х, функцию У1 и ее производные у'1 , у1/1 , ••• , у1(n-1) . Полу-

Найденные значения yz, уз, ... , Уп подставим в последнее уравнение си-

стемы (52.3). Получим одно ДУ п-го порядка относительно искомой

функции У1= a;,'fP = Ф(х;у1;у~;.";у~п-l)). Пусть его общее решение

есть

У1 = ср1(х;с1;сz;".;сп)·

Продифференцировав его (п - 1) раз и подставив значения произ-

водных у~,у~', ... , Yin-l) в уравнения системы (52.4), найдем функции

У2, Уз,···, Yn=

У2 = 1Р2(х; с1; с2; ... ;Cn), ... , Yn = 1Рп(х; С1; с2; ... ; Сп)·

При.мер 52.1. Решить систему уравнений

{~ =4y-3z,

~~ = 2уЗz.

370

Q Решение: Продифференцируем первое уравнение: у" = 4у' - Зz'.

Подставляем z' = 2у- 3z в полученное равенство: у" = 4у' - 3(2уЗz), у" - 4у1 + 6у = 9z. Составляем систему уравнений:

т. е. у" - у' - 6у = О. Получили одно ЛОДУ второго порядка. Решаем

его: k 2 - k- 6 = О, ki = -2, k2 = 3 и у = с1е-2х +с2е3х - общее решение

уравнения. Находим функцию z. Значения у и у' = (с1е-2х + с2е3х)' =

= -2с1е-2х + Зс2е3х подставляем в выражение z через у и у' (форму­

ла (52.5)). Получим:

Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет

Заме-чание. Систему уравнений (52.1) можно решать методом ин­ тегрируемъtх комбинациft. Суть метода состоит в том, что посредством арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.

Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.

Пример 52.2. Решить систему уравнений:

{~~=у+ 1,

~х + dt = 1.

Q Решение: Сложим почленно данные уравнения: х'+у' = х+у+2, или

(х+у)' = (х+у)+2. Обозначим х+у = z. Тогда имеем z' = z+2. Решаем

z + 2 = с1et, или х + у = с1et - 2.

Получили так называемый nepвuft интеграл системы. Из него

можно выразить одну из искомых функций через другую, тем самым

371

уменьшить на единицу число искомых функций. Например, у = с1et -

- 2 - х. Тогда первое уравнение системы примет вид

и у.

Заме'Чание. Данная система «позволяет» образовать еще одну ин­

р = c2 e-t, или х - у = c2 e-t. Имея два первых интеграо-~а системы, т. е.

х +у = с1et - 2 и х - у = c2 e-t, легко найти (складывая и вычитая пер-

52.3.Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы

уравнений (52.1) в случае, когда она представляет собой систему ли­

неtiн'Ых однороднЪtх ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему

где а, (3, /, k-постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (52.7) удовлетворяли системе

Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель ekx =j:. О, получим:

ak = ана + ai2f3 + а~з/,

{fЗk = а21а + а22/З + а2з/, f'k = аз1а + аз2/3 + азз/,

372

Систему (52.8) можно рассматривать как однородную систему трех ал­

гебраических уравнений с тремя неизвестными а, (3, 1'· Чтобы эта си­

стема имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы опре­ делитель системы был равен нулю:

азз - k

~Уравнение (52.9) называется харакmерисmическим уравнени­

ем системы (52.6). Раскрыв определитель, получим уравнение тре­

тьей степени относительно k. Рассмотрим возможные случаи.

Слу'Ча11 1. Корни характеристического уравнения действительны и

различны: ki, k2, k3 . Для каждого корня ki (i = 1, 2, З) напишем систе­ му (52.8) и определим коэффициенты a:i, fЗi, Т'i (один из коэффициентов

можно считать равным единице). Таким образом, получаем:

для корня kз - ур) = а:зеkзх' у~з) = fЗзеkзх' у~з) = ')'зеkзх.

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систе­

Уз = С1')'1 ekix + C2')'2ek2x + С3')'3еkзх.

При.мер 52.3. Решить систему уравнений:

{~ =у1 -у2,

1:1п. - -4у1 + У2· dx -

Q Решение: Характеристическое уравнение (52.9) данной системы

или 1-2k+k2 -4 =О, k2 -2k-3 =О, k1 = -1, k2 = 3. Частные решения

данной системы ищем в виде ур) = а1ekix, у~1) = (31 ek1x и у?) = a 2ek2 x,

у~2) = (32 ek2 x. Найдем a:i и f31 (i = 1, 2).

373

решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.

За.ме"lание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 50.1, случай 3), применяя формулы Эйле­

ра; в результате получим два действительных решения, содержащих

функции вида еах · cos Ьх, еах · sin Ьх. Или, вьщеляя действительные и

мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим

два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно­ сопряженный корень k2 = а - ib не даст новых линейно независимых

действительных решений.

Пример 52.4. Найти частное решение системы

\~=У1+У2,

~ = -у1 + У2 -у3,

0:1& 3У2 +Уз,

dx =

удовлетворяющее начальным условиям: У1(О) = 7, У2(О) = 2, Уз(О) = 1.

374

О Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Для k2 = 1+2i получаем (см. (52.8)):

-2ia2 + /32 =О,

{-а2 - ~i/32 - 'У2 = О,

3/32 - 2i"(2 = о.

Отсюда находим: а2 = 1 (положили), /32 = 2i, 'У2 = 3. Частное комп­

лексное решение системы:

Yi2) = e(l+2i)x, у~2) = 2ie(1+2i)x, у~2) = 3e(I+2i)x.

В найденных решениях выделим действительную (Re) и мнимую (Im) части:

yi2) = e(1+2i)x = ex(cos2x + isin2x),

Re yi2) = ех cos 2х, Im yi2 ) = ех sin 2х;

у~2) = 2ie(l+2i)x = ex(2icos2x - 2sin2x),

Rey~2) = -2exsin2x, Imy~2) = 2excos2x;

у~2) = 3e(l+2i)x = ex(3cos2x + i3sin2x),

Rey~2) = 3ех cos2x, Imy~2) = 3ех sin2x.

Как уже отмечено, корень k3 = 1 - 2i приведет к этим же самым реше­

ниям.

375

Таким образом, общее решение системы имеет вид

У1 = с1ех + с2ех cos2x + сзех sin2x,

У2 = с1 ·О - 2с2ех sin 2х + 2сзех cos 2х,

Уз = -С1 ех + 3с2ех cos 2х + 3сзех sin 2х.

Выделим частное решение системы. Пр~ заданных начальных услови~

ях получаем систему уравнений для определения постоянных с1 , с2, сз:

Случаii, 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратно­

сти т (т = 2, 3). Решение системы, соответствующее кратному корню,

у3 = (G + Нх + Nx2 )ekx.

Это решение зависит от т произвольных постоянных. Постоянные А, В, С, ... , N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через т из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим т ли­

нейно независимых частных решений системы (52.6).

При.мер 52.5. Решить систему уравнений:

Q Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение

1-k -1 1

1 1-k -1 =0,

о -1 2-k

376

Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ

ИНТЕГРАЛЫ

1 Лекции 44-46 1

§ 53. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

53.1. Основные понятия и определения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух пе­

ременных является так называемый двойной интеграл.

на дS; и составим сумму всех таких произведений:

n

f(x1;Y1)ЛS1 + f(x2; У2)ЛS2 + ···+ f(хп; Yn)ЛSn = L f(xi;Yi)дSi.

i=l

(53.1)

Эта сумма называется интегра.л:ьноi1 сум.моii, функции f(x; у) в обла­

сти D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремит­

ся к бесконечности таким образом, что maxdi -+О. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на ча­

сти, ни от выбора точек в них, то он называется iJвoii,нuм интегралом

от функции f(x;y) по области D и обозначается// f(x;y)dxdy (или

// f(x;y)ds). D

D

~Таким образом, iJвohнoii, интегра.л. определяется равенством

~В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемоit в

об,11,асти D; D - область интегрирования; х и у - пере­

менные интегрuровани..я; dx dy (или dS) - эл.емент n.лoщaiJu.

378

Для всякой ли функции f (х; у) существует двойной интеграл? На

этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь

без доказательства.

Теорема 53.1 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она

интегрируема в этой области.

прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом ЛSi = Лхi · Луi, равенство (53.2) можно записать в виде

53.2. Геометрический и физический смысл двойного

интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.

Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x; у) ~ ~О, снизу - замкнутой областью D плоскости Оху, с боков - цилин­ дрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а

направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело

называется цилиндрu'Ческим. Найдем его объем V. Для этого разобьем

область D (проекция поверхности z = f(x;y) на плоскость Оху) произ­ вольным образом на п областей D;, площади которых равны ЛSi (i = = 1,п). Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, огра­ ниченные сверху кусками поверхности z = f(x; у) (на рис. 216 один из

379