Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

За.ме'Чание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверх­ ности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М0 поверхности называется ocoбoii,, если в этой точке все част­

ные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.

Пример 45.1. Написать уравнения касательной плоскости и нор­

мали к параболоиду вращения z = х2 + у2 в точке l\rf0 (1; -1; 2).

§ 46. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 46.1. Основные понятия

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух пере­ менных аналогичны соответствующим понятиям функции одной неза­ висимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция z = f(x; у) определена в некоторой области D, точка N(xo; Уо) Е D.

~ Точка (хо; Уо) называется точкоii. максимума функции z = = f(x; у), если существует такая д-окрестность точки (хо; у0), что для каждой точки (х; у), отличной от (х0; у0), из этой окрестности вы­

полняется неравенство f(x; у) <!(хо; Уо).

~Аналогично определяется mо-ч.-

максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функ­

ции называют ее экстремумами.

ji Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции

лежит внутри области определения функции; максимум и мини­

мум имеют локал:ьнъ~'ii, (местный) характер: значение функции в точке

320

(хо; Уо) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или

не иметь ни одного.

46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 46.1 (необхоАимые условия экстремума). Если в точке N(x0 ;y0 ) дифференцируемая функция z = f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f~(x0;y0) =О,

!~(хо; Уо) =О.

О Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у= у0• То­

гда получим функцию f (х; Уо) = ip(x) одной переменной, которая имеет

экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию

экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), <р1 (х0) = О, т. е.

рис. 210), но не имеет в этой точке частных про-

изводных.

~Точка, в которой частные производные первого порядка функции

z = f(x; у) равны нулю, т. е. f~ =О, f~ = О, называется сmацио­

нарно11, mo'Ч.кoii. функции z.

~Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная про­

изводная не существует, называются криmи'Ч.ескими mо'Ч.ками.

Вкритических точках функция может иметь экстремум, а может

ине иметь. Равенство нулю частных производных является необхо-

димым, но не достаточным условием существования экстремума. Рас­

321

экстремума в ней функция z = ху не имеет, т. к. в достаточно малой

окрестности точки 0(0;0) найдутся точки для которых z >О (точки I и III четвертей) и z < О (точки П и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной

области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть

дополнительному исследованию.

Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стаци­ онарной точке (хо; Уо) и некоторой ее окрестности функция f(x; у)

имеет непрерывные частные производные до второго порядка вклю­

чительно. Вычислим в точке (хо; Уо) значения А = f::x(xo; Уо). В = = J:,:y(xo; Уо). С= f~y(xo; Уо). Обозначим

д = 1 ~ ~ 1 = АС- В2.

Тогда:

1)если д >О, то функция f(x;y) в точке (хо;уо) имеет экстремум:

максимум, если А <О; минимум, если А> О;

2)если д < О, то функция f (х; у) в точке (хо; у0) экстремума не имеет. В случае д =О экстремум в точке (хо; у0) может быть, может не быть.

Необходимы дополнительные исследования.

Примем без доказательства.

Пример 46.1. Найти экстремум функции z = Зх2у- х3 -у4 •

Q Решение: Здесь z~ = 6ху - 3х2 , z~ = 3х2 - 4у3 • Точки, в которых

частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

{6ху - 3х2 =О,

3х2 -4у3 =О.

Отсюда получаем точки М1 (6; 3) и М2(0; О).

Находим частные производные второго порядка данной функции:

т. е. д >О.

Так как А < О, то в точке М1 функция имеет локальный максимум:

Zmax = z(6; 3) = 3 · 36 · 3 - 63 - 34 = 324 - 216 - 81 = 27.

322

В точке М2(0; О): А = О, В = О, С = О и, значит, Л = О. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке М2 равно

нулю: z(O; О) = О, Можно заметить, что z = -у4 < О при х = О, у i=- О; z = -х3 > О при х < О, у =О. Значит, в окрестности точки М2(0;0)

функция z принимает как отрицательные, так и положительные зна­

чения. Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет. 8

46.З. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Пусть функция z = f(x;y) определена и непрерывна в ограничен­

ной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках

D своего наибольшего Ми наименьшего т значений (т. н. глобалъны,i1

экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, располо­

женных внутри области D, или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений диф­

ференцируемой в области D функции z = f(x; у) состоит в следующем: 1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D, и

вычислить значения функции в них;

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x;y)

на границах области;

3.Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m.

меньшее значения функции z = х2у + ху2 + ху

в замкнутой области, ограниченной линиями:

у= 1, х = 1, х = 2, у= -1,5 (см. рис. 211).

Решением системы являются точки (О;О), (-1;0), (О;-1), (-i;-i)·

Ни одна из найденных точек не принадлежит области D.

2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участ­

ков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 211).

323

Глава Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1 Лекции 37-431

§ 47. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЯХ

47.1.Основные понятия

~При решении различных задач математики, физики, химии и дру-

гих наук часто пользуются математическими моделями в виде

уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциа.п:ьны­

ми (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифферен­ циального уравнения называется функция, которая при подстановке в

уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения у'= f(x) является функция у= F(x) -

первообразная для функции f(x).

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных урав­

нениях (ДУ).

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной перемен­

ной, то ДУ называют обыкиовен:н:ым; в противном случае - ДУ в 'Часmи'Ых производиих. Далее будем рассматривать только обыкновен­

ные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется по-

= х ·z~ - ДУ в частных производных первого порядка.

Процесс отыскания решения ДУ называется его иитегрироваиие.м, а график решения ДУ - иитегра.л:ьиоit кривоit.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к диф­ ференциальным уравнениям.

47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным

уравнениям

ЗаАача 1

Материальная точка массы т замедляет свое движение под дей­

ствием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скоро-

325

сти V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки

через 3 с после начала замедления, если V(O) =100 м/с, а V(l) =50 м/с.

О Решение: Примем за независимую переменную время t, отсчитыва­

емое от начала замедления движения материальной точки. Тогда ско­

рость точки V будет функцией t, т. е. V = V(t). Для нахождения V(t) воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механи­

ки): т ·а= F, где а= V'(t) - есть ускорение движущегося тела, F -

результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае F = - k V2 , k > О - коэффициент пропорциональ­

ности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается).

Следовательно, функция V = V(t) является решением дифференци-

ального уравнения т · V' = -k ·V 2 или V' = _ .k_ V 2 . Здесь т - масса

т

const. Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость

точки через 3 с после начала замедления.

Найдем сначала параметры .k. и с. Согласноусловию задачи, име­ m

m

Следовательно, скорость точки изменяется по закону V = t 1~01. По-

Задача 2

Найти кривую, проходяшую через точку (4; 1), зная, что отрезок

любой касательной к ней, заключенный между осями координат, де-

лится в точке касания пополам.

Аленности предположим, что кривая расположена в

первой четверти (см. рис. 212).

МС= у. По условию задачи АМ =МВ, следовательно, ОС= СВ= х.

326

Другие задачи

Можно показать, что:

•закон изменения массы радия в зависимости от времени («радио­ активный распад») описывается дифференциальным уравнением

~7 = -k · т, где k > О - коэффициент пропорциональности,

m(t) - масса радия в момент t;

•«закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела

в зависимости от времени, описываетсяуравнением ~I=k(T-t0 ),

где T(t) - температура тела в момент времени t, k - коэффици­ ент пропорциональности, t0 - температура воздуха (среды охла­ ждения);

•зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реак­

Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообраз­

ных задач.

§48. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО

ПОРЯДКА 48.1. Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае

можно записать в виде

327

Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию

у и ее производную у'. Если уравнение (48.1) можно разрешить отно­ сительно у', то его записывают в виде

и называют ДУ первого пор.ядка, разрешенным относител.ъно произ­ водноii. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ. iJ Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между коор-

динатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у' касательной

к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно,

ДУ у'= f(x; у) дает совокупность направлений (поле направл.ениii) на

плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого по­

рядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, на­

зывается изокл.иноii. Изоклинами можно пользоваться для приближен­

ного построенмя интегральных кривых. Уравнение изоклины можно по­

лучить, если положить у'= с, т. е. f(x; у)= с.

Пример 48.1. С помощью изоклин начертить вид интегральных

Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стре­

лочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см. рис. 213), по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют со­

Дифференциальное уравнение первого порядКа, разрешенное от­ носительно производной, можно записать в дифференv,иал.ъ?tо1i, форме:

328

где Р(х;у) и Q(x;y) - известные функции. Уравнение (48.З) удобно

тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них мож­

но рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида

записи ДУ можно перейти к другому.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному мно­

жеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величи­

нами). Легко догадаться, что решением уравнения у' = 2х является

функция у = х2 , а также у = х2 + 1, у = х2 - -J2 и вообще у = х2 +с,

где с - const.

Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчи­

нить некоторым дополнительным условиям.

Условие, что при х = хо функция у должна быть равна заданно­ му числу Уо, т. е. у = Уо называется ншчалъ·н:ым условием. Начальное

Общим решением ДУ первого порядка называется функция у =

= <,о(х; с), содержащая одну произвольную постоянную и удовле-

творяющая условиям:

1. Функция <,о(х; с) является решением ДУ при каждом фиксиро­

ванном значении с.

2. Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое

значение постоянной с = ео, что функция у = <,о(х; ео) удовлетворяет

данному начальному условию.

~ Частным решением ДУ первого порядка называется любая

функция у = <,о(х; ео), полученная из общего решения у = <,о(х; с)

при конкретном значении постоянной с = ео.

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде урав­

нения Ф(х; у; с) = О, то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение Ф(х; у; ео) = О в этом случае называется -частным ин­

тегралом уравнения.

С геометрической точки зрения у = <,о(х; с) есть семейство инте­

гральных кривых на плоскости Оху; частное решение у = <,о(х; ео) - одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (хо; у0).

~Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетво­

ряющего заданному начальному условию (48.4), называется зада­

'Чеu Коши.

Теорема 48.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (48.2) функция f(x;y) и ее частная про­ изводная f~(x; у) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (хо; Уо), то существует единственное решение у = <,о(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4).

329