Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

у

у

y=f(x)

-1

-~у х

х

Пусть М(х; у) -произвольная точка кривой у= f(x) (см. рис. 158).

По формуле расстояния от точки до прямой ( d = 1AxJ:2в+~~ С1)

находим расстояние от точки М до прямой (25.5): d = lk~bl·

перейдя к пределу при х-+ оо, получаем:

хх

Итак, если существует наклонная асимптота у= kx + Ь, то k и Ь

находятся по формулам (25.7) и (25.8).

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные преде­

лы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой. Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует

или равен бесконечности, то кривая у= f(x) наклонной асимптоты не

имеет.

210

их -t -оо могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов

(25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х -t +оо

и когда х -t -оо.

Пример 25.13. Найти асимптоты графика функции у= хех.

Следовательно, при х -t -оо график имеет горизонтальную асимптоту

25.8.Общая схема исследования функции и построения

графика

Исследование функции у= f(x) целесообразно вести в определен­

ной последовательности.

1.Найти область определения функции.

2.Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями

координат.

3.Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на

которых f(x) >О или f(x) <О).

4.Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего

вида.

5.Найти асимптоты графика функции.

6.Найти интервалы монотонности функции.

7.Найти экстремумы функции.

8.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функ-

ции.

На основании проведенного исследования построить график функ­ ции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обя­

зательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь не­ сколько операций, например 1, 2, 7. Если же график функции не совсем

211

понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно допол­

нительно исследовать функцию на периодичность, построить дополни­ тельно несколько точек графика, выявить другие особенности функ­

ции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопро­

вождать постепенным построением графика функции.

При.мер 25.Ц. Исследовать функцию у= 1----х:-2" и построить ее

1 -х

график.

Q Решение: Выполним все восемь операций предложенной выше схе­

мы исследования.

1. Функция не определена при х = 1 и х = -1. Область ее опреде­

ления состоит из трех интервалов (-оо; -1), (-1; 1), (1; +оо), а график

из трех ветвей.

2.Если х =О, то у= О. График пересекает ось Оу в точке 0(0; О); если у= О, то х =О. График пересекает ось Ох в точке 0(0; О).

3.Функция знакоположительна (у> О) в интервалах (-оо;-1) и

Следовательно, график ее симметричен относительно начала коорди­

нат. Для построения графика достаточно исследовать ее при х ~ О.

5. Прямые х = 1 их= -1 являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты:

Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у = О.

Прямая у = О является асимптотой и при х ---+ +оо, и при х ---+ -оо.

6. Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как

то у' > О в области определения, и функция является возрастающей на

каждом интервале области определения.

7. Исследуем функцию на экстремум. Так как у' = (f~~21)2, то

критическими точками являются точки х1 = 1 и х2 = -1 (у' не суще­ ствует), но они не принадлежат области определения функции. Функ­

ция экстремумов не имеет.

212

8. Исследуем функцию на выпуклость. Находим у":

у

х

у= 1-х2

х

у'~.°

Вторая производная равна нулю или не существует в точках х1 = =О, х2 = -1, хз = 1. На рисунке 159 представлена схема изменения знаков второй производной исследуемой функции.

Точка 0(0,0) - точка перегиба графика функции.

График выпуклый вверх на интервалах (-1; О) и (1; оо); выпуклый

§26. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Вопределении функции у= f(x) не говорится о том, при помощи

каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях,

когда функция является формулой вида у = ~3 - 5х + 7, значения

функции найти легко с помощью четырех арифметических действий.

Но как найти значения, например, функций у= sinx, у= ln(l +х) при

любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции у = f(x), ее заменяют многочленом Pn(x) степени п, значения которого всегда и

легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию

многочленом дает формула Тейлора.

213

26.1. Формула Тейлора AflЯ многочлена

Пусть функция f(x) есть многочлен Pn(x) степени n:

f(x) = Pn(x) = ао + aix + а2х2 + ... + anxn.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени п относитель­

но разности х-х0 , где Хо - произвольное число, т. е. представим Pn(x)

в виде

(26.1)

Для нахождения коэффициентов А0, А1 , .•. , An продифференцируем n

раз равенство (26.1):

Р~(х) = Ai + 2А2(х - хо)+ 3Аз(х - хо)2 + ... + nAn(x - xo)n- 1 ,

Р;:(х) = 2А2 + 2 · ЗАз(х - хо)+ ... + n(n - 1)An(x - xo)n-2,

Р;:'(х) = 2 ·3Аз + 2 ·3 ·4А4(х - хо)+ ...

... + n(n - 1)(n - 2)An(X - х0)n-з,

PAn)(x) = n(n - l)(n - 2) .. . 2·1An.

Подставляя х = х0 в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

Подставляя найденные значения А0, А1 , ••• , An в равенство (26.1), по­ лучим разложение многочлена n-й степени Pn(x) по степеням (х -хо):

214

~Формула (26.2) называется формуд.011. TeiJ.д,opa д.п.я многочд,е­

на Pn(x) степени п.

26.2. Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию у= f(x). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию f(x) в ви­

де многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема 26.1. Если функция f (х) определена в некоторой окрест­ ности точки х0 и имеет в ней производные до (п + 1)-го порядка

включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка

с Е (х0; х) такая, что справедлива формула

~Формула (26.3) называется форму.ttо11. TeiJ..ttopa д.л.я функции

~называется многочд,еном Te11..ttopa, а

215

~называется осmаmо'Чним 'Ч.1tеном формулы Тейлора, записан-

ным в форме Лагранжа. Rп(х) есть погрешность приближенного равенства f(x) ~ Рп(х). Таким образом, формула Тейлора дает воз­ можность заменить функцию у= f(x) многочленом у= Рп(х) с соот­

ветствующей степенью точности, равной значению остаточного члена

Rп(х).

~ При хо = О получаем частный случай формулы Тейлора - фор­

муд,у Мак.1tорена:

+f'(c)(x-xo) или f(x)- f(xo) = f'(c)(x-xo), т. е. совпадает с формулой

Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для

приближенных вычислений f(x) ~ f(xo) + f'(xo)(x - хо) (см. «диффе­ ренциал функции») является частным случаем более точной формулы

Пример 26.2. Найти число е с точностью до 0,001.

Q Решение: Запишем формулу Маклорена для функции f (х) =е"'. На­

ходим производные этой функции: f'(x)=ex, f"(x)=e"', ... , f(n+l)(x)=

=ех. Так как /(О)=е0 =1, f'(O)=e 0 =1, ... , f(n)(O)=l, f(n+l)(c)=ee, то

Поэтому при п = 6 имеем

ее3

7! < 5040 = 0,0006 < 0,001.

Итак, получаем приближенное равенство

216

Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1Лекции 23-241

§27. ПОНЯТИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

27.1.Основные понятия

~Комnлексним числом z называется выражение вида z = x+iy,

где х и у - действительные числа, а i - так называемая мнима.я

единица, i 2 = -1.

~Если х = О, то число О + iy = iy называется чисто мним'Ым;

если у = О, то число х + iO = х отождествляется с действительным

числом х, а это означает, что множество JR всех действительных чисел

является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е.

JR с с.

~Число х называется деitсmвиmельноii. частью комплексного

числа z и обозначается х = Rez, а у - мн.имоii. частью z,

у= Imz.

~Два комплексных числа z1 = х1 + iy1 и z2 = х2 + iy2 называются равними (z 1 = z2 ) тогда и только тогда, когда равны их действи­

тельные части и равны их мнимые части: х1 = х2, У1 = У2. В частности, комплексное число z = х + iy равно нулю тогда и только тогда, когда

х = у = О. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не

вводятся.

~Два комплексных числа z = х + iy и z = х - iy, отличающиеся

лишь знаком мнимой части, называются соnря:нсенними.

27.2.Геометрическое изображение комплексных чисел

лексноiJ nлоскосmъю. Ось абсцисс называется деitсmвителъноit

осъю, так как на ней лежат действительные числа z = х + Oi = х.

Ось ординат называется мнимоiJ осью, на ней лежат чисто мнимые

комплексные числа z =О+ iy.

218

~Комплексное число z = х + iy можно задавать с помощью радиус-

вектора r = ОМ = (х; у). Длина вектора f, изображающего ком­

плексное число z, называется модулем этого числа и обозначается lzl или r. Величина угла между положительным направлением дей­

ствительной оси и вектором f, изображающим комплексное число, на­ зывается аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z

или ер.

~Аргумент комплексного числа z = О не определен. Аргумент комплексного числа z "# О - величина многозначная и определяется с

точностью до слагаемого 27rk (k =О, -1, 1, -2, 2 ... ): Arg z = argz+27rk,

где arg z - главное значение аргумента, заключенное в проме­

жутке (-7r; 7r], т. е. -71" < arg z ~ 7r (иногда в качестве главного значения

аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [О; 271")).

27.3. Формы записи комплексных чисел

~Запись числа z в виде z = х +iy называют алгебраическоit фор­ моit комплексного числа.

~Модуль r и аргумент ер комплексного числа можно рассматривать

как полярные координаты вектора r =ОМ, изображающего ком­

плексное число z = х + iy (см. рис. 161). Тогда получаем х = rcosep,

у = r sin ср. Следовательно, комплексное число z = х + iy можно запи­

сать в виде z = r cos ер + ir sin ср или

z = r(cos ер + i sin ер).

Такая запись комплексного числа называется тригонометрическоit формоit.

Модуль r = lzl однозначно определяется по формуле

r = lzl = Jx2 +у2.

Например, lil = \1'02 + 12 = 1. Аргумент ср определяется из формул

Так как

ср = Argz = argz + 2k7r,

то

cosep = cos(argz + 2k7r) = cos(argz), sincp = sin(argz).

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного чи­

сла к тригонометрической достаточно определить лишь главное значе­

ние аргумента комплексного числа z, т. е. считать ср = arg z.

219