Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

в

рывна на отрезке [а; Ь] и принимает на его концах неравные значения f(a) =А и f (Ь) = В, то на этом отрезке она принимает и все проме­

жуточные значения между А и В.

Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).

Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка

с внутри этого отрезка такая, что f(c) =С. Прямая у= С пересечет

график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие 19.2. Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь]

и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка

[а; Ь] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f (с) =О.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функ­ ции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось

Ох (см. рис. 125).

Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половuн­

ного делен'UЯ», который используется для нахождения корня уравне­

ния f(x) =О.

Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются невер­ ными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна

не на отрезке [а; Ь], а в интервале (а; Ь), либо функция на отрезке [а; Ь]

имеет разрыв.

Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график

разрывной функции не пересекает ось Ох.

160

полагаем а= х, ер= у.

Шаг 5. Если Ь - а - с: < О то задача решена. В качестве искомого

корня (с заданной точностью с:) принимается величина х = а! Ь. Ина-

че процесс деления отрезка [а; Ь] пополам продолжаем, возвращаясь к

§ 20. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

20.1. Задачи, приводящие к понятию производной

Понятие производной является одним из основных математических

понятий. Производная широко используется при решении целого ряда

задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении

скорости разных процессов.

Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется нерав­

номерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответ­

ствует определенное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной

точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t).

161

Это равенство называют законом движения mо'Чки. Требуется най­

ти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени' t

точка занимает положение М, то в момент

время дt:

дS

Vcp. = дt.

Средняя скорость зависит от значения дt: чем меньше дt, тем

точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю про­

межутка времени дt называется скоростью движения mо'Чки в данн'Ыti

момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость

через V, получим

Касательная к кривой

Дадим сначала общее определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки Ми М1 (см. рис. 128).

Прямую ММ1, проходящую через эти точки, называют секущеti. Пусть точка М1 , двигаясь вдоль кривой L, неограниченно прибли-

жается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стре­

мится к некоторому предельному положению МТ.

~Касате.л:ьноii. к iJaннoii. кривоii. в iJaннoii. то-чке М называ­

ется предельное положение МТ секущей ММ1 , проходящей через

точку М, когда вторая точка пересечения М1 неограниченно прибли­

жается по кривой к точке М1 .

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у = f(x), имею­

щий в точке М(х; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой

коэффициент k = tga, где а - угол касательной с осью Ох.

Для этого проведем через точку М и точку М1 графика с абсцис­ сой х + дх секущую (см. рис. 129). Обозначим через rp - угол между секущей ММ1 и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент

секущей равен

162

о х х+дх х

При дх ~ О в силу непрерывности функции приращение ду тоже стремится к нулю; поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол <р ~а, т. е. lim ер= а.

К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят решения и

множества других задач. Можно показать, что:

- если Q = Q(t) - количество электричества, проходящего через

поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент

скую реакцию за время t, то скорость хими'Ч.еско1i реакции в момент

времени t равна

0(0;0) и М(х;О), то лине1iна.я плотность стержня. в то'Ч.ке х есть

Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется най­

ти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производноii. Эти пределы можно записать так:

V=S;; tga=y~; l=Щ; V=N:; S=m~

(читается «V равно S штрих по t», «тангенс а равен у штрих по Х» и т. д.).

163

20.2.Определение производной; ее механический и геометрический смысл.

Уравнение касательной и нормали к кривой

Пусть функция у= f(x) определена на некотором интервале (а; Ь).

Проделаем следующие операции:

- аргументу х Е (а; Ь) дадим приращение Лх: х + Лх Е (а; Ь);

-найдем соответствующее приращение функции: Лу = f(х+Лх)-

-f(x);

-составим отношение приращения функции к приращению аргу-

мента:~;

~Производноfi. функции у= f(x) в точке х0 называется предел

отношения приращения функции к приращению аргумента, когда

приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

веденная из данной функции.

~Функция у = !( х), имеющая производную в каждой точке интерва­ ла (а; Ь), называется дифференv,ируемоfi. в этом интервале; опе­

рация нахождения производной функции называется дифференциро­

ванием.

Значение производной функции у= f(x) в точке х = х0 обознача­

ется одним из символов: f'(xo), y'Jx=xo или у'(хо).

Пример 20.1. Найти производную функции у= С, С= const.

Q Решение:

- Значению х даем приращение Лх;

164

Прuмер 20.2. Найти производную функции у= х2 •

Q Решение:

-Аргументу х даем приращение дх;

-находим ду: ду = (х + дх)2 - х2 = 2х ·дх + (дх)2 ;

-находим предел этого отношения:

lim дду = lim (2х+ дх) = 2х.

Лх-+0 Х Лх-+0

Это равенство перепишем в виде V = s;, т. е. скорость прямоли­

неii:ного движени.я материалъноii то-ч.ки в момент времени t естъ про­ изводная от пути S по времени t. В этом заключается механи-ч.ескиii смысл производноii.

!iJ Обобщая, можно сказать, что если функция у = f(x) описывает

какой-либо физический процесс, то производная у' есть ско­ рость протекания этого процесса. В этом состоит физическиii.

смысл, nроизводноii..

!iJ

циент касательной k = tg о: = lim ОJJ...дд. Это равенство перепишем

Лх-+0 Х

в виде f'(x) = tgo: = k, т. е. производная f'(x) в точке х рав­

на уг.л,овому коэффициенту касате.л,ьноii. к графику функции

у= f(x) в точке, абсцисса кomopoii. равна х. В этом заключается

~Если точка касания М имеет координаты

(хо; Уо) (см. рис. 130), то угловой коэффи­

циент касательной есть k = f'(x 0 ). Пользуясь

уравнением прямой, проходящей через задан­

~Прямая, перпендикулярная касательной в

кривоii..

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой ко­

165

Поэтому уравнение нормали имеет вид у - Уо = - !'(~о) · (х - хо)

(если f'(xo) i- О).

20.З. Связь между непрерывностью

и дифференцируемостью функции

Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке,

то она непрерывна в ней.

Q Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точке х.

Следовательно, существует предел lim ОJJ..дд = f'(x).

Лх-tО Х

Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно

малой функции, имеем t = f'(x) +а, где а-+ О при дх-+ О, то есть

ду = f'(x) · дх +а· дх.

Переходя к пределу, при дх -+ О, получаем lim ду = О. А это и

уфункция может не иметь производной. Приме­

ром такой функции является функция

говорят, что функция имеет односторонние nроизводние (или «про­ изводные слева и справа»), и обозначают соответственно /'_(х) и f'+-(x).

166

Если f~(x) =/. f'_(x), то производная в точке не существует. Не

существует производной и в точках разрыва функции.

2. Производная у'= f'(x) непрерывной функции у= f(x) сама не

обязательно является непрерывной.

iJ Если функция у = f (х) имеет непрерывную производную у' = f' (х)

в некотором интервале (а; Ь), то функция называется гладкоfi..

20.4.Производная суммы, разности, произведения

и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определе­ нию часто связано с определенными трудностями. На практике функ­ ции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пустъ функции и = и(х) и v = v(x) - две дифференцируемие в

некотором интервале (а; Ь) функции.

Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (и± v)' =и'± v'.

Q Обозначим у = и± v. По определению производной и основным

теоремам о пределах получаем:

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 20.3. Производная произведения двух функций равна произ­

ведению производной первого сомножителя на второй плюс произве­

дение первого сомножителя на производную второго: (и·v)'=и'v+v'и.

167

О Пусть у = иv. Тогда

= и' · v + и · v' + О · и' = и' · v + и · v',

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи не­

прерывности и дифференцируемости: так как функции и = и(х) и v = v(x) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому Лv ~ О

и Ли ~ О при Лх ~ О. Можно показать, что:

а) (с· и)'= с· и', где с= const;

6) (и · v · w)' = и' · v · w + и · v' · w + и · v · w'.

Теорема 20.4. Производная частногодвухфункций иvtхx1, еслиv(x) =f

=/:- О равна дроби, числитель которой есть разность произведений зна­

менателя дроби на производную числителя и числителя дроби на про­

изводную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаме-

нателя: (;) 1 = и'· v ~и· v', v =/:-О.

168

20.5. Производная сложной и обратной функций

Пусть у= !(и) и и= ср(х), тогда у= f(cp(x)) - сложная функция

с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Теорема 20.5. Если функция и= ср(х) имеет производную и~ в точке х, а функция у= f(u) имеет производную у~ в соответствующей точке и= ср(х), то сложная функция у= /(ср(х)) имеет производную у~ в точке х, которая находится по формуле у~ =у~· и~.

Q По условию lim ~дд =у~. Отсюда, по теореме о связи функции, ее

Ли-+0 U

предела и бесконечно малой функции, имеем ~ = у~ + а или

т. е.

ду =у~· и~· дх +у~· ,В· дх +и~· а· дх +а· ,В· дх.

Разделив полученное равенство на дх и перейдя к пределу при дх -+ О,

169