Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

б.4. Некоторые приложения скалярного произведения

Угол межАУ векторами

Определение угла <р между ненулевыми векторами а= (а"; ау; az)

и Б = (Ьх; Ьу; Ьz):

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а

и Б:

Проекция вектора на заАанное направление

Нахождение проекции вектора а на направление, заданное векто­

ром Б, может осуществляться по формуле

Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из поло­

жения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол <р с перемещением АВ = S (см. рис. 15).

Пример 6. 3. Вычислить работу, произведенную силой F= (3; 2; 4),

если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения

А(2; 4; 6) в положение В(4; 2; 7). Под каким углом к АВ направлена

сила F?

Q Решение: Находим S = АВ = (2,-2, 1). Стало быть,

А= F · S = 3 · 2 + 2 · (-2) + 4 · 1 = 6 (ед. работы).

50

§7. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ИЕГО СВОЙСТВА

7.1. Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора а, Б и с, взятые в указанном порядке,

образуют правую mpotiкy, если с конца третьего вектора с кратчайший

поворот от первого вектора а ко второму вектору Б виден совершаю­

щимся против часовой стрелки, и .левую, если по часовой (см. рис. 16).

праваятройка, ~ леваятройка

ii

Рис. 16

~Векторным nрои.зведени.ем вектора а на вектор Б называется

вектор ё, который:

1)перпендикулярен векторам а и Б, т. е. ё .1 а и ё .1 Б;

2)имеет длину, численно равную площади параллелограмма, по­

строенного на векторах а и Б как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

lёl = lal ·lbl siшp, где 'Р = (а, Ь);

3) векторы ii, Б и ё образуют правую тройку.

z

ё

Векторное произведение обозначается ii х Били [а, Б].

Из определения векторного произведения непосредственно вытека­

ют следующие соотношения между ортами l, J и k (см. рис. 18):

l х ] = k, ] х k = l, k х l = ].

Докажем, например, что l х J= k.

51

о 1) k J_ i, k J_ J;

7.2. Свойства векторного произведения

лограмма остается неизменной), но проти­

воположно направлены (тройки а, Б, а х Б

и ii, Б, Б х ii противоположной ориентации).

О Пусть Л > О. Вектор Л(iix Ь) перпендикулярен векторам ii и Б. Вектор (Лii) х Б также перпендикулярен векторам ii и Б (векторы ii, Лii лежат в одной плоскости). Значит, векторы Л(ii х Ь) и (Лii) х Б коллинеарны.

Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

JЛ(ii х Ь)1= Л\а х bl = ЛJal · JbJ ·sin(a, Ь)

3. Два ненулевых вектора ii и Б коллинеарны тогда и только то­

гда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.

вом:

(а + Б) х ё = а х ё + Б х ё.

Примем без доказательства.

52

7 .3. Выражение векторного произведения

через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векто­

ров l, J и k:

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму со­

впадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему век­

тору, если не совпадает - третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а = axl +ау]+ azk и Б = Ьхz + Ьу] + Ьzk.

Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как

многочлены (согласно свойств векторного произведения):

ах Б = (axl +ау]+ azk) х (Ьхl + Ьу] + Ь}i) =

=ахЬх(l х z) + axby(Z х J) + axbz(Z х k) + aybx(J х l) + ayby(J Х })+

+aybz(J Х k) + azbx(k Х z) + azby(k Х J) + azbz(k Х k) =

=О+ axbyk - axЬzJ - aybxk +О+ aybzl + azЬxJ - azbyz +О=

= (aybz - azby)Z - (axbz - azbx)J + (ахЬу - aybx)k =

т. е.

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению опреде­

лителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2)

легко запоминается.

53

7.4. Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

Если а 11 Б, то ах Б =О (и наоборот), т. е.

НахожАение площаАи параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и Б

/ах Б/ = lal ·lbl sinrp, т. е. Sпар = la х Б/. И, значит, Sл = ~la х БI.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила F = АВ и пусть О - некоторая

точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что момен,том С'UЛ'Ы F относительно точки О

называется вектор М, который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

3) образует правую тройку с векторами ОА и АВ.

Стало быть, М = ОА х F.

---

Рис. 20 Рис. 21

НахожАение линейной скорости вращения

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой ско­ ростью r;J вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера iJ = r;J х r, где r = ОМ, где О - некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

54

§ 8. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

8.1.Определение смешанного произведения,

его геометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов ii, Б и ё, составленное следу­ ющим образом: (ах Ь) ·ё. Здесь первые два вектора перемножаются

векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведе­

ние называется векторно-ска.л.ярн:ым, или смешанным, произведением

трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое

число.

Выясним геометрический смысл вы-

ражения (ах Ь)·ё. Построим параллелепи­

пед, ребрами которого являются векторы

образованного векторами а, Б и ё.

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объ­

ему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со зна­

ком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

8.2. Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической переста­

новке его сомножителей, т. е. (ii х Ь) ·ё = (Ь х ё) ·а= (ё х ii) · Б.

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллеле­ пипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами зна­

ков векторного и скалярного умножения, т. е. (ах Ь) ·ё =а· (Ь х ё).

векторов ii, Б, ё и Б, ё, а - одной ориентации.

55

Следовательно, (ах Б) · ё = а(Б х ё). Это позволяет записывать сме­

шанное произведение векторов (ах Ь)ё в виде аЬё без знаков векторного,

скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест

любых двух векторов-сомножителей, т. е. аЬё = -аёБ, аБё = -Баё, аЬё = = -ёБа.

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке

сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения

знак.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, Ь и ё равно нулю

тогда и только тогда, когда они компланарны.

Q Если аЬё = О, то а, Б, ё - компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллеле­

пипед с объемом V =Р О. Но так как аЬё = ±V, то получили бы, что

= а х Ь будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а,

Пусть заданы векторы а = axI +ау]+ azk, Ь Ьхi + Ьу} + Ьzk, ё = Cxt + су]+ Czk. Найдем их смешанное произведение, используя вы­

ражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

Полученную формулу можно записать короче:

Сх Су Cz

так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение

определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю тре­

тьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

56

Глава 111. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Лекции 7-9 1

§ 9. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

9.1. Основные понятия

~Под системоit координат на плоскости понимают способ, по­ зволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной

из таких систем является nрямоуго.11:ьная (декартова) система ко­

ординат.

Прямоугольная система координат за­

дается двумя взаимно перпендикулярными

у

прямыми - осями, на каждой из которых

увыбрано положительное направление и за­

дан единичный (масштабный) отрезок.

Единицу масштаба обычно берут одинако­

хвой для обеих осей. Эти оси называют ося­

хми координат, точку их пересечения О - на'Чалом координат. Одну из осей называ­

На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и на­

правленной слева направо, а ось ординат - вертикально и направлен­

ной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области -

'Четверти (или квадранты).

Единичные векторы осей обозначают f и J (lfl = IJI = 1, f 1- ]).

Систему координат обозначают Оху (или OfJ), а плоскость, в ко­

торой расположена система координат, называют координатноi1. плос-

костъю.

Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор ОМ

называется радиусом-вектором точки М.

~Координатами точки М в системе координат Оху (Oi]) на­

зываются координаты радиуса-вектора ОМ. Если ОМ= (х;у), то координаты точки М записывают так: М(х;у), число х называется аб­

сциссоi& точки М, у - ординатоit точки М.

Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на

плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единствен­

ная точка М плоскости, и наоборот.

58

Способ определения положения точек с помощью чисел (коорди­

нат) называется методом координат. Сущность метода координат на

плоскости состоит в том, что всякой линии на ней, как правило, сопо­

ставляется ее уравнение. Свойства этой линии изучаются путем иссле­

дования уравнения линии.

Другой практически важной системой координат является по.л.я.р­ ная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым по.л.я.рноii, осью, и еди­ ничным вектором ё того же направления, что и луч Ор.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение . точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О

и углом ср, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис.

у

Числа r и ср называются по.п.ярн.ими координатами точки М,

пишут M(r; ср), при этом r называют nо.п.ярним радиусом, ср -

по.л.я.рным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол

ср ограничить промежутком (-1Г; 1Г] (или О ~ ср < 27Г), а полярный

радиус - [О; оо). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О)

соответствует единственная пара чисел r и ер, и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координа­

тами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось - с положительной полуосью Ох. Пусть х и у - пря­

моугольные координаты точки М, а r и ср - ее полярные координаты. Из рисунка 25 видно, что прямоугольные и полярные координаты

точки М выражаются следующим образом:

Определяя величину ер, следует установить (по знакам х и у) че­

тверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -1Г <ер~ 1Г.

59