Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функ­

ций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из

них.

x-txo

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. а и

(3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем а или (3, то а и (3 -

x-txo

Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций

разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется

главноii. 'Частью этоii. сумм'Ы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрас'Ывани­ ем бесконе'Чно малых в'Ысшего порядка.

Пример 18.5. Найти предел lim Зх.+ 7х2 .

x-tO sш2х

150

18.3.Применение эквивалентных бесконечно малых

функций

Вычисление пределов

Для раскрытия неопределённостей вида 8часто бывают полез­

ным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и

другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как из­

вестно, sin х ,...., х при х -t О, tg х ,...., х при х -t О. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

Ниже приведены ва;>fСнеii.шие эквивалентности, которые исполь­

зуются при вычислении пределов:

151

в частности, -/1 + х -1,...., ~-

152

сливается с прямой у = х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллю­

стрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых го­

ворилось выше.

1

----------

,,.

2

у

1

у

у=1+~

Q Решение: ln 1,032 = ln(l + 0,032) ~ 0,032 Для сравнения результата

§ 19. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

19.1. Непрерывность функции в точке

Пусть функция у = f(x) определена в точке х0 и в некоторой

окрестности этой точки. Функция у = f(x) называется непреръtвноii

в mо'Чке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

153

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1)функция f(x) определена в точке Хо и в ее окрестности;

2)функция f (х) имеет предел при х ~ х0;

3)предел функции в точке х0 равен значению функции в этой

точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как lim х =хо, то равенство (19.1) можно записать в виде

ж-tжо

Это означает, что при нахождении предела непрерывноii. функции f (х) можно переii.ти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргументах подставить его преде.лыюе зна-чение х0.

ж-tО

и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функ-

ции еж.

Прuмер 19.1. Вычислить А= lim ln(l + х).

ж-+0 Х

Q Решение:

lim ln(l+x) = lim .! ·ln(l+x) = limln(l+x)~ =

Отметим, что ln(l + х) "' х при х ~ О.

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опи­ раясь на понятия приращения аргумента и функции.

(или д/ или д/(хо)): дy=f(x)-f(xo) или ду=f(хо+дх)-f(хо) (см.

рис. 119).

Очевидно, приращения дх и ду могут быть как положительными,

так и отрицательными числами.

154

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия

х --+ хо и х - Хо --+ О одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид

lim (f(x) - !(хо)) =О или

Х--+Хо

(19.3)

~Полученное равенство (19.3) является еще одним определением не-

прерывности функции в точке: функция у= f(x) называется не­

nреръюн.оii в точке хо, если она определена в точке х0 и ее окрестно­ сти и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому прираще­

нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое

(равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.

Пример 19.2. Исследовать на непрерывность функцию у = sin х.

Q Решение: Функция у = sin х определена при всех х Е IR.

Возьмем произвольную точку х и найдем приращение Лу:

ведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.

Согласно определению (19.3), функция у= sinx непрерывна в точ-

19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция у= f(x) называется непрерывноii, в интервале (а, Ь), если

она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у = f(x) называется непрерывноii, на отрезке [а, Ь], если она непрерывна в интервале (а, Ь) и в точке х = а непреръина спра-

ва (т. е. lim f(x) = f(a)), а в точке х = Ь непреривна слева (т. е.

х--+а+о

lim f(x) = f(Ь)).

х--+Ь-0

19.3.Точки разрыва функции и их классификация

~Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называют­ ся то-чками разрыва эmoii функции. Если х = хо - точка

разрыва функции у = f(x), то в ней не выполняется по крайней ме-

155

ре одно из условий первого определения непрерывности функции, а

именно:

1.Функция определена в окрестности точки х0, но не определена

всамой точке Хо.

разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х --t 2:

ует lim f (х), но этот предел не ра-

а g(xo) = g(O) = 2.

156

~Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва перво­ го и второго рода. Точка разрыва хо называется mo'Чкoti разрива

первого рода функции у= f(x), если в этой точке существуют конеч­

ные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.

а) если Ai = А2, то точка хо называется mо'Чко11, устранимого раз­ рива; б) если Ai /:- А2, то точка Хо называется mо'Чко11, коне'Чного раз­ рива. Величину IA1 - А21 называют ска'Чком функции в точке разрыва

первого рода.

~Точка разрыва х0 называется mo'Чкofi. разрива второго рода

функции у = f (х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

1.Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120).

у= х~2, Хо = 2 - точка разрыва второго рода.

2.Для функции

х0 = 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен

1101=1.

3. Для функции

х0 = О является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(x) = 1 (вместо g(x) = 2) при х = О, разрыв устранится, функция

станет непрерывной.

функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке

157

19.4.Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из

соответствующих теорем о пределах.

Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных

функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Q Пусть функция f(x) и <р(х) непрерывны на некотором множес'l'ве

Х и х0 - любое. значение из этого множества. Докажем, например,

функции у= !(и) имеем:

Теорема 19.3. Если функция у= f(x) непрерывна и строго монотон­ на на [а; Ь] оси Ох, то обратная функция у = 1.р(х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [с; d] оси Оу (без доказатель­ ства).

158

Так, например, функция tgx = sinx, в силу теоремы 19.1, есть cosx

функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых cosx =О, т. е. кроме значений х = ~ + 1Гn, п Е Z.

Функции arcsinx, arctgx, arccosx, arcctgx, в силу теоремы 19.3, не­

прерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены. lil Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, д.л,я которых они опре­

делены.

~Как известно, элементарноiJ, называется такая функция, которую

можно задать одной формулой, содержащей конечное число ариф­ метических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных

выше теорем вытекает: всякая элементарна.я функция непрерыв­

на в ка:;нсдоfi. точке, в котороiJ она определена.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить

пределы элементарных функций в точках, где они определены.

Пример 19.4. Найти lim 2ctgx.

x-+i"

О Решение: Функция 2ctg х непрерывна в точке х = ~, поэтому

19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрез­

ке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наимень­

шего значений.

Изображенная на рисунке 123 функция у = f(x) непрерывна на отрезке (а; Ь], принимает свое наибольшее значение М в точке х1 , а наименьшее т - в точке х2. Для любого х Е [а; Ь] имеет место нера­ венство т ~ f(x) ~ М.

Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она огра­

ничена на этом отрезке.

159