Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

§ 14. ФУНКЦИЯ 14.1. Понятие функции

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (свя­ зи) между элементами двух множеств.

~Пусть даны два непустых множества Х и У. Соответствие f, ко-

торое каждому элементу х Е Х сопоставляет один и только один

элемент у Е У, называется функциеil и записывается у = f (х), х Е Х

или f : Х --+ У. Говорят еще, что функция f отобра;;нсает множество Х на множество У.

Рис. 98

Например, соответствия f и g, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г - нет. В случае в - не каждому элементу х Е Х соответствует элемент у Е У. В случае г не

соблюдается условие однозначности.

Множество Х называется областъю определения функции f и обо­

значается D(f). Множество всех у Е У называется множеством зна­ 'ЧениiJ, функции f и обозначается E(f).

14.2.Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Пусть задана функция f : Х --+ У.

liJ Если элементами множеств Х и У являются действительные числа

(т. е. Х С JR и У С JR), то функцию f называют -ч.исловоil функ­

циеii. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать

у= f(x).

Переменная х называется при этом аргументом или независимой

переменной, а у - функv,иеii, или зависимоi1 переменноil, (от х). От-

120

носительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функ­ чиональноii, зависимости. Иногда функциональную зависимость у от

х пишут в виде у = у(х), не вводя новой буквы (/) для обозначения

зависимости.

Частное зна-чение функции f(x) при х =а записывают так: f(a).

Например, если f(x) = 2х2 - 3, то /(О) = -3, /(2) = 5.

Графиком функчии у = !(х) на-

Чтобы задать функцию у = f(x), необходимо указать правило,

позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: ана­

литический, табличный, графический.

Аналити'Ческиii, способ: функция задается в виде одной или не­

скольких формул или уравнений. Например:

Если область определения функции у= f(x) не указана, то пред­

полагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента,

при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью

определения функции у= J1 - х2 является отрезок [-1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совер­

шенным, так как к нему приложены методы математического анализа,

позволяющие полностью исследовать функцию у= f(x).

Графu'Ческиii, способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции

у, соответствующие тем или иным значениям аргументах, непосред­

ственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность,

недостатком - его неточность.

Таб.ли'Ч·н:ыil, способ: функция задается таблицей ряда значений ар­

гумента и соответствующих значений функции. Например, известные

121

таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений

функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

14.3.Основные характеристики функции

~1. Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется

-ч,етноii., если Vx Е D выполняются условия -х Е D и f(-x) =

Например, у = х2 , у = Vl + х2 , у = ln lxl - четные функции; а

у= sinx, у= х3 - нечетные функции; у= х -1, у= у'х - функции

общего вида, т. е. не четные и не нечетные.

~2. Пусть функция у = f(x) определена на множестве D и пусть

D1 С D. Если для любых значений х1 , х2 Е D 1 аргументов из

неравенства Х1 < Х2 вытекает неравенство: f(x1) < f(x2), то функция называется возрастающеii. на множе­

(1; 5), возрастает на интервале (3; 5).

~Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D 1 называются монотоннъt.Мu на этом

множестве, а возрастающие и убывающие - строго монотоннъtМи. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервад.а­ ми монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна

на (-2; 1) и (З; 5); монотонна на (1; З).

~ 3. Функцию у = f(x), определенную на множестве D, называют

ограни-ч,енноii. на этом множестве, если существует такое число

М > О, что для всех х Е D выполняется неравенство lf(x)I ~ М (ко­ роткая запись: у= f(x), х Е D, называется ограниченной на D, если 3М > О : Vx Е D ===> lf(x)I ~ М). Отсюда следует, что график

ограниченной функции лежит между прямыми у= -Ми у= М (см.

рис. 101).

122

Е§] 4. Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется nериодическоit на этом множестве, если существует такое число

Т >О, что при каждом х Е D значение (х + Т) Е D и f(x + Т) = f(x).

При этом число Т называется периодом функции. Если Т - период

функции, то ее периодами будут также числа т ·Т, где т = ±1; ±2, ...

Так, для у= sinx периодами будут числа ±27Г; ±47Г; ±67Г, ... Основной период (наименьший положительный) - это период Т = 27Г. Вообще

обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т,

удовлетворяющее равенству f(x + Т) = f(x).

у

-+ /

14.4.Обратная функция

~Пусть задана функция у= f(x) с областью определения D и мно-

жеством значений Е. Если каждому значению у Е Е соответствует

единственное значение х Е D, то определена функция х = ср(у) с обла­

стью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102). Такая

функция ср(у) называется oбpamнoit к функции f(x) и записывается в

следующем виде: х = ср(у) = 1-1 (у). Про функции у= f(x) их= ср(у)

говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию

х = ср(у), обратную к функции у= J(x), достаточно решить уравнение

J(x) =у относительно х (если это возможно).

Примеры:

1. Для функции у = 2х обратной функцией является функция

х- ly·

- 2·

2. Для функции у = х2 , х Е [О; 1], обратной функцией является

х = у'у; заметим, что для функции у= х2, заданной на отрезке [-1; 1],

обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два зна-

чениях (так, если у= ;!, то Х1 = !• х2 = -!)·

123

ji Из определения обратной функции вытекает, что функция у = f (х)

имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f(x) задает

взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда

следует, что любая строго монотонная функция имеет обрат­

ную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функ-

точки М1 и М2 симметричны относительно прямой у= х (см. рис. 103).

Поэтому графики взаимно обратных функциii. у= f(x) и у= rp(x)

симметричны относите.аьно биссектрисы первого и третье­ го координатных уг.аов.

14.5. Сложная функция

Е§] Пусть функция у = f (и) определена на множестве D, а функция и= rp(x) на множестве D 1 , причем для Vx Е D 1 соответствующее значение и = rp(x) Е D. Тогда на множестве D 1 определена функция у = f(rp(x)), которая называется c.acr.нc.нoii. функциеii. от х (или су­

nерnозициеii. заданных функций, или функциеii. от функции). Переменную и = rp(x) называют про.межуто'ч:н:ым аргументом

сложной функции.

Например, функция у = sin 2х есть суперпозиция двух функций у = sin и и и = 2х. Сложная функция может иметь несколько проме­

жуточных аргументов.

14.б. Основные элементарные функции и их графики

Основными элементарными функциями называют следующие

функции.

1) Показательна.я функция у =ах, а > О, а-:/:- 1. На рис. 104 пока­

заны графики показательных функций, соответствующие различным

основаниям степени.

124

х

Рис. 104

2) Степенна.я функция у = х"', а Е llt Примеры графиков сте­

пенных функций, соответствующих различным показателям степени,

предоставлены на рис. 105.

у

у

х

ух

о~ у

х

о

х

у

у

х

Рис. 105

125

3) Логарифми:ческая функция у = loga х, а > О, а -::/: 1; Графики

логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 106.

Рис. 106

4)Тригонометри-ческие функции у= sinx, у= cosx, у= tgx, у=

=ctg х; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный

на рис. 107.

y=sinx

х

Рис. 107

5)Обраmн'Ьtе тригонометри-ческие функции у = arcsinx, у =

arccosx, у = arctgx, у = arcctgx. На рис. 108 показаны графики

обратных тригонометрических функций.

~Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных

элементарных функций и постоянных с помощью конечного чи­

сла арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, де­ ления) и операций взятия функции от функции, называется элемен­ тар'НОii функцuеii. Примерами элементарных функций могут слу­

жить функции

126

y=arccosx

Примерами неэлементарных функций могут служить функции

~Под 'Чис.аовоit nос.аедовате.аьносmью x 1 ,x2 ,x3 , ••• ,xn,··· по-

нимается функция I I

заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последователь­

ность обозначается в виде {xn} или Хп, п Е N. Число х1 называет­ ся первым членом (элементом) последовательности, х2 - вторым,... ,

Xn - общим или n-м ч.аеиом nос.аедоваmе.аьности.

Чаще всего последовательность задается формулой его общего чле­

на. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательно­

сти по номеру п, по ней можно сразу вычислить любой член последо­ вательности. Так, равенства

127

задают соответственно последовательности

Vn = {2,5, 10, .. . ,п2 +1, ... }; Zn = {-1,2,-3,4, ... , (-l)n ·n, ... };

Уп = {1, ~'~'~'... , ~'... }; Un = {О,~'~'~'~'~'... , n: 1, ... }.

§§] Последовательность {Хп} называется огран:и:ченноiL, если суще­

ствует такое число М > О, что для любого п Е N выполняется

неравенство

В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности Уп и Un ограничены, а Vn и Zn -

неограничены.

~Последовательность {xn} называется возрастающеii, (неубыва-

ющеit), если для любого п выполняется неравенство Xn+i > Хп (xn+l ~ xn)· Аналогично определяется убывающая (невозрастающая)

последовательность.

~Все эти последовательности называются монотонными после­

довательностями. Последовательности Vn, Уп и Un монотонные, а

Zn - не монотонная.

Если все элементы последовательности {Хп} равны одному и тому

же числу с, то ее называют постоя:н:ноil.

Другой способ задания числовых последовательностей - рекур­

рентнъttl способ. В нем задается начальный элемент х1 (первый

член последовательности) и правило определения п-го элемента по

(п - 1)-му:

Хп = /(Хп-1).

Таким образом, Х2 f(x1), Хз = f (х2) и т. д. При таком способе за­

дания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих.

15.2. Предел числовой последовательности

Можно заметить, что члены последовательности Un неограниченно

приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последователь­ ность Un, п Е N стремится к пределу 1.

§§] Число а называется пределом noc.11.eiJoвame.11.ънocmu {xn}, если

для любого положительного числа с: найдется такое натуральное число N, что при всех п > N выполняется неравенство

(15.2)

В этом случае пишут lim Хп = lim Хп = а или Хп --+ а и говорят, что n---+oo

последовательность {xn} (или переменная Хп, пробегающая последо- вательность х1 , х2, х3, ... ) имеет предел, равный числу а (или Хп стре­ мится к а). Говорят также, что последовательность {xn} сходите.я к а.

128

Коротко определение предела можно записать так:

Q Решение: По определению, число 1 будет пределом последователь­

ности Xn = п - l, п Е N, если '\fc: >О наiJ,дется натуральное число N,

есть наибольшее целое число, не превосходящее х; так [З] = З, [5,2] = 5).

Если с:> 1, то в качестве N можно взять [~] + 1.

Итак, Vc: >О указано соответствующее значение N. Это и доказы-

N = [2~] = (236] = [s~J =в;

Выясним геометрический смысл определения предела последова­

тельности.

Неравенство (15.2) равносильно неравенствам -с:< Xn - а< с: или

а - с: < Xn <а+ с:, которые показывают, что элемент Xn находится в

с:-окрестности точки а.

Xn

Рис. 109

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последова­

тельности {xn}, если для любой с:-окрестности точки а найдется нату­

ральное число N, что все значения Xn, для которых п > N, попадут в

с-окрестность точки а (см. рис. 109).

129